Les vecteurs de l’espace

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Fiches
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Vecteurs, droites et plans de l’espace


On peut étendre à l’espace, qui est muni d’un repère orthonormé O;i,j,k, la notion de vecteur vue dans le plan, et les opérations associées.

I Définitions et opérations

1 Vecteurs de l’espace

Soit A et B deux points de l’espace. Le vecteur AB est défini par :

sa direction, celle de la droite (AB) ;

son sens, de A vers B ;

sa norme, notée AB, qui est la distance AB=AB.

Comme en géométrie plane, on peut définir la translation de vecteur AB (notée tAB) qui transforme le point A en le point B.

Pour tous points A, B, C, D :

AB=CD ABDC est un parallélogramme.

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2 Addition de deux vecteurs

Soit u et v deux vecteurs. On définit le vecteur u+v en construisant un parallélogramme : si u=AB et v=AC, alors u+v=AD tel que ABDC est un parallélogramme. L’image du point C par la translation de vecteur AB est D.

Pour tous les points A, B et C : AB+BC=AC (relation de Chasles).

3 Multiplication d’un vecteur par un réel

Soit u un vecteur de l’espace, u0, et α un réel, α0.

Le produit du vecteur u par le réel α est le vecteur noté αu qui a :

la même direction que u ;

le même sens que u si α>0, le sens contraire si α<0 ;

pour norme αu=α×u.

Si u=0 ou α=0, alors αu=0.

Pour tous nombres réels α et β, et tous vecteurs u et v de l’espace :

À noter

Comme dans le plan, le vecteur nul, noté 0, est le vecteur dont la norme est égal à 0. L’opposé d’un vecteur u est le vecteur u.

αu+v=αu+αv et α+βu=αu+βu.

II Vecteurs colinéaires et points alignés, coordonnées

Soit A, B et C trois points de l’espace.

A, B, C alignés AB et AC colinéaires Il existe α tel que AC=αAB.

Pour tous vecteurs u(x ; y ; z) et v(x ; y ; z) de l’espace, et tout α : u+v(x+x ; y+y ; z+z) et αuαx;αy;αz.

Soit A(xA ; yA ; zA) et BxB;yB;zB deux points de l’espace. On note I le milieu de [AB].

AB xBxA;yByA;zBzA

IxA+xB2;yA+yB2;zA+zB2

Pour tous points AxA;yA;zA et BxB;yB;zB de l’espace :

AB=xBxA2+yByA2+zBzA2=AB

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Méthode

Utiliser les propriétés des vecteurs de l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé O;i,j,k, on considère les points A(2 ; 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 5) et C(8 ; 1 ; 1).

a. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.

b. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AC].

Conseils

a. Commencez par calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC, puis cherchez un nombre réel α tel que AC=αAB.

b. Appliquez la formule IxA+xB2;yA+yB2;zA+zB2.

Solution

a. AB (12 ; 2(1) ; 53), soit AB(3 ; 1 ; 2).

AC (82 ; 1(1) ; 13), soit AC(6 ; 2 ; 4).

Ainsi AC=2AB, donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

Les points A, B et C sont donc alignés.

b. I(2+82 ; 1+12 ; 3+(1)2), soit I(5 ; 0 ; 1).