Les vecteurs position et vitesse sont caractéristiques du mouvement. La vitesse est la variation de la position : c'est sa dérivée par rapport au temps.

I Le vecteur position

Le mouvement d'un point est étudié par rapport à un corps de référence appelé référentiel associé à un repère d'espace et un repère de temps (défini par une origine des dates t₀) et une unité de temps (la seconde dans le Système International).

Exemples : référentiel terrestre lié à la surface de la Terre, référentiel géocentrique lié au centre de la Terre, référentiel héliocentrique lié au Soleil.

Un point mobile M est repéré dans un repère d'espace noté (O ; $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$), constitué d'un point origine O fixe dans le référentiel et d'un système d'axes orthonormés. Sa position est définie par son vecteur position dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des fonctions de la date t :

$\overrightarrow{\text{OM}}=x\left(t\right)\overrightarrow{i}+y\left(t\right)\overrightarrow{j}+z\left(t\right)\overrightarrow{k}$

Les fonctions du temps x(t), y(t) et z(t) sont les équations horaires du mouvement.

II Le vecteur vitesse

Le vecteur vitesse d'un point mobile M est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\overrightarrow{v_{\text{M}}}=\frac{\text{d}\overrightarrow{\text{OM}}}{\text{d}t}$.

Les coordonnées (v_x ; v_y ; v_z) du vecteur vitesse sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées (x ; y ; z) de M :

$\overrightarrow{v_{\text{M}}}=v_x\overrightarrow{i}+v_y\overrightarrow{j}+v_{\text{z}}\overrightarrow{k}=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\overrightarrow{i}+\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\overrightarrow{j}+\frac{\text{d}z}{\text{d}t}\overrightarrow{k}$

Le vecteur vitesse $\overrightarrow{v_{\text{M}}}$ a pour :

origine : le point M ;

direction : la tangente au mouvement ;

sens : celui du mouvement ;

valeur : $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$.

La valeur de la vitesse s'exprime en m · s⁻¹.

Méthode

Établir les coordonnées du vecteur vitesse à partir du vecteur position

La figure ci-dessous montre les positions successives, toutes les 0,5 s, d'un point mobile M en mouvement dans le plan (O, x, y).

Les coordonnées du vecteur position $\overrightarrow{\text{OM}}$ varient en fonction du temps suivant les équations horaires :

x(t) = t² − 3 × t + 2

y(t) = 2 × t + 1

a. Indiquer la position M₀ de M à l'origine des dates t = 0 s.

b. Tracer le vecteur position $\overrightarrow{\text{OM}}$₀.

c. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse $\overrightarrow{v_{\text{M}}}$ à la date t.

d. Tracer $\overrightarrow{v_{\text{M}}}$ aux dates t = 0 s, t = 1 s et t = 2 s.

e. Quelles propriétés du vecteur vitesse retrouve-t-on sur ce tracé ?

Conseils

a. Pour déterminer une position à une date t, remplacez t par sa valeur dans les équations horaires.

b. Le vecteur position est tracé à partir de l'origine O.

c. Décrivez les équations horaires x(t) et y(t) du vecteur position.

d. Le vecteur vitesse est tracé à partir du point considéré à la date choisie.

Solution

a. À t = 0 s, x(0) = 2 et y(0) = 1.

b. $\overrightarrow{\text{OM}}$₀ est tracé sur la figure ci-contre.

c. $v_x=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}$ = 2 × t − 3 et $v_y=\frac{\text{d}y}{\text{d}t}$ = 2.

Donc : $\overrightarrow{v_{\text{M}}}=\left(2t-3\right)\overrightarrow{i}+\text{ 2}\overrightarrow{j}$.

d. Coordonnées du vecteur vitesse :

à t = 0 s, v_x = −3 et v_y = 2 ;

à t = 1 s, v_x = −1 et v_y = 2 ;

à t = 2 s, v_x = 1 et v_y = 2.

e. Le vecteur vitesse est bien tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement.