Fiche de révision

Les vecteurs position et vitesse

Contenu


Les vecteurs position et vitesse sont caractéristiques du mouvement. La vitesse est la variation de la position : c'est sa dérivée par rapport au temps.

I Le vecteur position

Le mouvement d'un point est étudié par rapport à un corps de référence appelé référentiel associé à un repère d'espace et un repère de temps (défini par une origine des dates t0) et une unité de temps (la seconde dans le Système International).

Exemples : référentiel terrestre lié à la surface de la Terre, référentiel géocentrique lié au centre de la Terre, référentiel héliocentrique lié au Soleil.

Un point mobile M est repéré dans un repère d'espace noté (O ; i, j, k), constitué d'un point origine O fixe dans le référentiel et d'un système d'axes orthonormés. Sa position est définie par son vecteur position dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des fonctions de la date t :

OM=xti+ytj+ztk

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Les fonctions du temps x(t), y(t) et z(t) sont les équations horaires du mouvement.

II Le vecteur vitesse

Le vecteur vitesse d'un point mobile M est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : vM=dOMdt.

Les coordonnées (vx ; vy ; vz) du vecteur vitesse sont les dérivées par rapport au temps des coordonnées (x ; y ; z) de M :

vM=vxi+vyj+vzk=dxdti+dydtj+dzdtk

Le vecteur vitesse vM a pour :

origine : le point M ;

direction : la tangente au mouvement ;

sens : celui du mouvement ;

valeur : v=vx2+vy2+vz2.

La valeur de la vitesse s'exprime en m · s1.

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Méthode

Établir les coordonnées du vecteur vitesse à partir du vecteur position

La figure ci-dessous montre les positions successives, toutes les 0,5 s, d'un point mobile M en mouvement dans le plan (O, x, y).

Les coordonnées du vecteur position OM varient en fonction du temps suivant les équations horaires :

x(t) = t² − 3 × t + 2

y(t) = 2 × t + 1

a. Indiquer la position M0 de M à l'origine des dates= 0 s.

b. Tracer le vecteur position OM0.

c. Déterminer les coordonnées du vecteur vitesse vM à la date t.

d. Tracer vM aux dates = 0 s, t = 1 s et t = 2 s.

e. Quelles propriétés du vecteur vitesse retrouve-t-on sur ce tracé ?

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Conseils

a. Pour déterminer une position à une date t, remplacez t par sa valeur dans les équations horaires.

b. Le vecteur position est tracé à partir de l'origine O.

c. Décrivez les équations horaires x(t) et y(t) du vecteur position.

d. Le vecteur vitesse est tracé à partir du point considéré à la date choisie.

Solution

a. À t = 0 s, x(0) = 2 et y(0) = 1.

b. OM0 est tracé sur la figure ci-contre.

c. vx=dxdt = 2 × t − 3 et vy=dydt = 2.

Donc : vM=2t3i+ 2j.

d. Coordonnées du vecteur vitesse :

à t = 0 s, vx = −3 et vy = 2 ;

à = 1 s, vx = −1 et vy = 2 ;

à t = 2 s, v= 1 et vy = 2.

e. Le vecteur vitesse est bien tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement.

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