La limite éventuelle d'une suite donne une idée de son comportement asymptotique. Il est souvent pratique de trouver cette limite en la comparant avec celles de suites au comportement bien connu.

I Définitions

1 Limite infinie

Une suite de terme général u_n admet pour $\text{limite}+\infty$ si elle dépasse toute valeur pour n suffisamment grand. On note $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

Une suite de terme général u_n admet pour $\text{limite}-\infty$ si la suite de terme général −u_n admet pour limite + ∞. On note $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$.

2 Limite finie

Une suite de terme général u_n admet pour limite un réel ℓ si elle est aussi proche de ℓ que l'on veut pour n suffisamment grand. On note $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=$ ℓ.

II Limites et inégalités

Théorème de comparaison

Soit N un entier naturel, soient ℓ et ℓ′ des réels, et soient (u_n) et (r_n) des suites réelles telles que pour tout entier $n\in \text{ℕ},u_n\text{⩾}{r}_n$ :

 si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell$ et $\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n={\ell }^{\prime }$ alors $\ell \text{⩾}{\ell }^{\prime }$.

 si $\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n=+\infty$ alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

Théorème d'encadrement (dit « des gendarmes »)

Soit ℓ un réel, soit $N\in \text{ℕ}$, soient (r_n) et (s_n) des suites réelles de même limite ℓ. Si pour tout entier $n\text{⩾}N$, $s_n\text{⩽}{u}_n\text{⩽}{r}_n$, alors $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\ell$.

III Limites et opérations