Limites de fonctions

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Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Limites de fonctions

Limites de fonctions

1Limites des fonctions de référence

Par exemple, 11515_Math_272

traduit le fait que, lorsque x devient « très grand », f(x) devient aussi « très grand ».

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_27

2Limite au voisinage d’une valeur a pour laquelle la fonction f est définie

Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle I sur lequel f est définie.

Ce résultat s’applique à toutes les fonctions rencontrées en terminales STI2D-STL.

Alors : limxaf(x)=f(a).

3Énoncés usuels sur les limites

Dans ce qui suit, α peut être remplacé par un nombre fixé a, ou les symboles –et + ∞.

Somme de deux fonctions

? signifie que l’on ne peut pas conclure directement

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_26

Produit d’une fonction par une constante k

* correspond soit à + , soit à – . Le signe + ou – s’obtient de façon évidente dans chaque exemple.

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_25

Produit de deux fonctions

* correspond soit à + , soit à – . Le signe + ou – s’obtient de façon évidente dans chaque exemple.

? signifie que l’on ne peut pas conclure directement

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_24

Inverse d’une fonction

PB_9782216133727_T_STI2D-STL_01_Maths_Tab_23

Théorème 1

Si limxαu(x)=0 et si, au voisinage de α, on a u(x) > 0, alors : limxα1u(x)=+.

Théorème 2

Si limxαu(x)=0 et si, au voisinage de α, on a u(x) < 0, alors : limxα1u(x)=.

Exemple

Soit f la fonction définie sur 12,+ par f(x)=12x1.

Cherchons limx12f(x).

limx12(2x1)=0 et, pour tout x de 12,+, 2x – 1 > 0.

D’après le théorème 1, limx12f(x)=+.

Limite d’un quotient de deux fonctions

En écrivant que f(x)g(x)=f(x)×1g(x), on utilise les théorèmes sur le produit de deux fonctions et l’inverse d’une fonction.

4Limites au voisinage de +  ou – des fonctions polynômes et rationnelles

Au voisinage de + ∞ ou de – ∞, une fonction polynôme a même limite que sa fonction monôme de plus haut degré.

Exemple

Soit f la fonction définie sur par f(x)=12x3x.

On cherche limxf(x) et limx+f(x).

D’après le résultat ci-dessus, limxf(x)=limx12x3.

On utilise un résultat du paragraphe et un résultat du paragraphe concernant le produit d’une fonction par une constante.

limxx3= d’où limx12x3=+, c’est-à-dire : limxf(x)=+.

En procédant de même, on obtient : limx+f(x)=.

Au voisinage de + ∞ ou de – ∞, une fonction rationnelle a même limite que le quotient des fonctions monômes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]3, + ∞ [ par f(x)=x2+x+1x3.

On cherche limx+f(x).

D’après le résultat ci-dessus, limx+f(x)=limx+x2x=limx+x=+.

5Asymptotes

Asymptote verticale11515_Maths_04_01

Soit f une fonction telle que limxaf(x)=+ ou limxaf(x)=.

Sur la figure, C01_Eq074

La droite ∆ d’équation x = a est une asymptote verticale de la courbe représentative C de f.

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]1, + ∞[ par f(x)=x2+1x1.

Vérifiez-le sur l’écran de votre calculatrice graphique.

De limx11x1=+ (puisque x > 1) et limx1(x2+1)=2, on déduit que :

limx11x1×(x2+1)=+, c’est-à-dire limx1f(x)=+. D’où la droite d’équation x = 1 est asymptote verticale de la courbe représentative de f.

Asymptote horizontale11515_Maths_04_02

Soit f une fonction telle que limx+f(x)=L ou limxf(x)=L.

Sur la figure, C01_Eq075

La droite ∆ d’équation y = L est une asymptote horizontale de la courbe représentative C de f.

Exemple

Soit f la fonction définie sur par f(x)=2x2+x+1x2+2.

limx+f(x)=limx+2x2x2=2. De limx+f(x)=2, on déduit que la droite ∆ d’équation y = 2 est une asymptote horizontale de la courbe représentative de f en + ∞.

Asymptote oblique11515_Maths_04_03

Soit f une fonction définie sur ]A, + ∞[ (ou ]– ∞, A[) par

f(x) = axbg(x) avec limx+g(x)=0 (ou limxg(x)=0).

La droite ∆ d’équation y = axb est une asymptote oblique de la courbe représentative C de f (en + ∞ ou – ∞).

Position relative d’une courbe représentative et de son asymptote oblique

La position relative de la courbe C et de son asymptote ∆ est donnée par le signe de f(x) – (axb) lorsque x varie.

11515_Maths_04_04

Si yMyN = f(x) – (axb) > 0,
C est au-dessus de ∆.

11515_Maths_04_05

Si yMyN = f(x) – (axb) < 0,
C est au-dessous de ∆.

Exemple

Soit f la fonction définie sur ]– ∞, 2[ par :

f(x)=x3+4x2.

Sa courbe représentative C, obtenue avec une calculatrice graphique ou un tableur, est donnée sur la figure ci-dessous.

limx4x2=0. On en déduit que la droite ∆ d’équation y = x – 3 est asymptote oblique de C en – ∞.

• Pour tout x de ]– ∞, 2[ f(x)(x3)=4x2<0.

D’où la courbe C est au-dessous de son asymptote ∆.

11515_Maths_04_06

Remarque

De limx21x2= (puisque x – 2 < 0 sur ]– , 2[), on déduit que limx2f(x)=. D’où la droite d’équation x = 2 est asymptote verticale de la courbe C.