La notion de limite vue pour les suites peut s'étendre aux fonctions. On découvrira alors la limite lorsque x tend vers une valeur finie.

I Limite finie en l'infini

Définitions : Dire que ℓ est la limite de f(x) quand x tend vers + ∞ (resp. − ∞) signifie que tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand (resp. pourvu que x soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue).

On note $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$).

Définitions : Soit ℓ un nombre réel. Dire que la droite d'équation y = ℓ est asymptote à la courbe représentative de f en + ∞ (resp. en − ∞) signifie que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\ell$).

II Limite infinie en l'infini

Définitions : Dire qu'une fonction f tend vers $+\infty$ (resp. − ∞) quand x tend vers + ∞ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; + ∞[ (resp. ]− ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand.

On note $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ (resp. $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$).

On a des définitions analogues lorsque x tend vers − ∞.

III Limite infinie en un point

Définitions : Dire que f a pour limite $+\infty$ (resp. − ∞) en x₀ signifie que tout intervalle de la forme ]A ; + ∞[ (resp. ]− ∞ ; A[) contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment proche de x₀.

Définition : Soit ℓ un nombre réel. Dire que la droite d'équation x = ℓ est asymptote à la courbe représentative de f signifie que $\underset{x\to \ell }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty .$

Remarque : Le calcul de limites de fonctions se fera d'une manière analogue à celui des suites, en utilisant les opérations sur les limites. On pourra faire tendre x vers une valeur finie, + ∞ ou − ∞.

Les limites des fonctions usuelles sont données dans le mémo visuel.

Méthode

Lire et interpréter une limite

On considère une fonction f dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous :

a. Quel est l'ensemble de définition D_f de f ?

b. Quelles limites pouvez-vous lire sur ce graphique ?

Les interpréter géométriquement.

c. Dresser le tableau de variations complet de f sur D_f .

conseils

Les limites de f se lisent en + ∞, et aux points en lesquels la fonction n'est pas définie.

solution

a. L'ensemble de définition de f est $D_f=]0;+\infty [$.

b. D'après l'ensemble de définition, on voit qu'il faut déterminer deux ­limites : une limite en 0 et une limite en + ∞.

D'après le graphique, $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$.

On en déduit que les droites d'équation x = 0 et y = 1 sont asymptotes à la courbe représentative de f.

c.