La notion de limite vue pour les suites peut s'étendre aux fonctions, que x tende vers $+\infty ,-\infty$ ou vers un nombre fini.

I Limite finie en l'infini

Définition : Dire que ℓ est la limite de $f(x)$ quand x tend vers $+\infty$ signifie qu'il existe un nombre x₀ tel que, pour tout x > x₀, tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x).

Autrement dit, ℓ est la limite de $f(x)$ quand x tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand (resp. pourvu que x soit négatif et suffisamment grand en valeur absolue).

On note $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$).

Exemples : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ ; $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\text{e}}^x-1=-1$.

Définition : Soit ℓ un nombre réel.

Dire que la droite d'équation $y=\mathcal{l}$ est asymptote à la courbe représentant f en $+\infty$ (resp. en $-\infty )$ signifie que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$).

II Limite infinie en l'infini

Définition : Soit A un nombre réel. Dire qu'une fonction f tend vers + ∞ (resp. $-\infty )$ quand x tend vers + ∞ signifie que tout intervalle de la forme $\left]A;+\infty \right[$contient tous les nombres f(x) pourvu que x soit suffisamment grand.

On note $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty \text{)}$.

Exemples : Soit n un entier naturel. On a $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$ ; $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n$ = + ∞ ou − ∞ selon la parité de n ; $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$ ; $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\text{e}}^x=+\infty$.

III Limite infinie en un point

Définition : Dire que f a pour limite $+\infty$ (resp. $-\infty )$ en x₀ signifie que tout intervalle du type ]A ; $+\infty$[ (resp. $]-\infty$ ; A[) contient tous les nombres f(x), pourvu que x soit suffisamment proche de x₀.

Exemples : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty \text{et}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$

Définition : Soit ℓ un nombre réel. La droite d'équation $x=\mathcal{l}$ est asymptote à la courbe représentant f si $\underset{x\to \mathcal{l}}{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$.

Méthode

Lire et interpréter une limite

On considère une fonction f dont le tableau de variations est donné ci-dessous.

a. Quel est l'ensemble de définition de f ?

b. Quelles sont les limites données dans ce tableau ? Les interpréter graphiquement, puis donner une allure de la courbe représentant f.

Conseils

Les limites de f se lisent en $+\infty ,-\infty$ et aux points en lesquels la fonction n'est pas définie.

Solution

a. L'ensemble de définition de f est $\left]-\infty ,4\right[\cup \left]4,+\infty \right[$.

b. On lit les limites suivantes : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$.

Lorsque x tend vers 4 en restant inférieur à 4, on a $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

Lorsque x tend vers 4 en restant supérieur à 4, on a $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

A noter

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ peut également se noter $\underset{\begin{array}{c}x\to 4\\ x4\end{array}}{\lim }f\left(x\right).$ Cette écriture montre bien que x se rapproche de 4 en étant dans l'intervalle $\left]-\infty ;4\right[$.

La courbe représentant f admet donc pour asymptote horizontale la droite d'équation $y=2$ en $+\infty$ et pour asymptote verticale la droite d'équation $x=4$.