Certaines courbes peuvent être tracées sans lever le crayon, d'autres pas. On peut retrouver ce critère grâce à l'étude de la continuité de la fonction associée à la courbe.

I Définitions – Propriétés

Définition : Soit x₀ un réel appartenant à un intervalle I. Une fonction f définie sur I est continue en x₀ si f admet une limite finie en x_0. Cette limite est alors $f\left(x_0\right)$.

Une fonction f définie sur un intervalle I est continue sur I si f est continue en tout point de I.

Contre-exemple : La fonction ci-contre est continue sur ]− 2 ; 0[ et sur [0 ; 2] mais pas sur tout l'intervalle [− 2 ; 2].

Exemples :

Les fonctions polynômes sont continues sur $\text{ℝ}$.

La fonction $x\mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\left[0;+\infty \right[$.

La fonction exponentielle est continue sur $\text{ℝ}.$

Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.

Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.

II Théorèmes des valeurs intermédiaires et de la bijection

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I.

Pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que $f\left(c\right)=k$.

Remarque : Cela revient à dire que, si k est compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet au moins une solution comprise entre a et b.

Corollaire : théorème de la bijection

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ a une solution unique dans [$a;b].$

Méthode

Déterminer une solution de l'équation f (x ) = 0

Montrer que l'équation (E) $-x^3+x^2-x+2=0$ admet une unique solution dans l'intervalle [1 ; 2].

conseils

Pour démontrer ce résultat, appliquez le théorème de la bijection avec k = 0.

Étape 1 Explicitez la fonction f à laquelle on souhaite appliquer ce théorème.

Étape 2 Vérifiez toutes les hypothèses nécessaires :

f est continue sur [a ; b] ; f est strictement monotone sur [a ; b] et 0 est compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$.

Étape 3 Appliquez le théorème de la bijection et conclure.

Solution

Étape 1 On introduit la fonction f définie par $f\left(x\right)=-x^3+x^2-x+2$.

Résoudre l'équation (E) revient à résoudre $f\left(x\right)=0$.

Étape 2

f est une fonction polynôme donc f est continue sur $\text{ℝ}$, et en particulier sur [1 ; 2].

Pour montrer que f est strictement monotone, on commence par déterminer la dérivée de f. Étant une fonction polynôme, f est dérivable sur [1 ; 2] et, pour tout x de [1 ; 2], on a $f^{\prime }\left(x\right)=-3x^2+2x-1$.

Le discriminant du polynôme du second degré f ′(x) est $2^2-4\times \left(-3\right)\times \left(-1\right)=-8$. Il est négatif, donc f ′(x) est toujours du signe du coefficient de x² (a = −3), c'est-à-dire négatif. La fonction f est donc strictement décroissante sur [1 ; 2].

$f\left(1\right)=-1+1-1+2=1$ et $f\left(2\right)=-8+4-2+2=-4.$

Donc 0 est bien compris entre $f\left(1\right)$ et $f\left(2\right)$.

D'après le théorème de la bijection, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution sur [1 ; 2].

À noter

On peut remarquer ici que f étant décroissante sur [1 ; 2], l'image par f de [1 ; 2] est $\left[f\left(2\right);f\left(1\right)\right]=\left[-4;1\right]$.