Pour déterminer la limite d'une suite, il peut être utile de la décomposer en somme, différence ou encore en quotient de deux suites dont on sait calculer les limites.

I Limites et opérations

Dans les tableaux ci-dessous, $l$ et $l^{'}$ sont des réels, et « F. I. » désigne une forme indéterminée, c'est-à-dire les cas où l'on ne peut pas déterminer d'emblée la limite de la suite.

Tableau de 3 lignes, 7 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Limite de u; l; l; l; + ∞; − ∞; + ∞; Ligne 2 : Limite de v; l′; + ∞; − ∞; + ∞; − ∞; − ∞; Ligne 3 : Limite de u+v; l+l′; + ∞; − ∞; + ∞; − ∞; F. I.;

Tableau de 5 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : Limite de u; l; l>0; l<0; 0; 0; + ∞; − ∞; Ligne 2 : Limite de v; l′; + ∞; + ∞; + ∞; 0; + ∞; + ∞; Ligne 3 : Limite de uv; l×l′; + ∞; − ∞; F. I.; 0; + ∞; − ∞; Ligne 4 : Limite de 1u; Si l≠0:1/l; 1/l; 1/l; Si u>0:+ ∞; Si u<0:− ∞; 0; 0; Ligne 5 : Limite de uv; Si l′≠0:l/l′; 0; 0; 0; F. I.; F. I.; F. I.;

Sans plus de renseignement sur les suites, on ne peut pas déterminer la limite :

de la différence de deux suites de même limite infinie (« $\infty - \infty$ ») ;

du quotient de deux suites de limites infinies (« $\infty / \infty$ ») ;

du quotient de deux suites de limites nulles (« $0 / 0$ ») ;

du produit de deux suites de limites respectivement nulle et infinie (« $0 \times \infty$ »).

Pour lever l'indétermination, dans les deux premiers cas, on peut factoriser chaque terme du quotient ou de la différence par des termes prépondérants.

À noter

Certaines suites n'admettent pas de limites, par exemple les suites de termes généraux ${(- 1)}^{n}$ et ${(- 10)}^{n}$ .

II Suites monotones

Théorèmes : Toute suite croissante non majorée diverge vers $+ \infty$ .

Toute suite décroissante non minorée diverge vers $- \infty$ .

Théorèmes : Soient M et m des réels.

Toute suite croissante majorée par M converge vers un réel $l$ tel que $l \leq M$ .

Toute suite décroissante minorée par m converge vers un réel $l$ tel que $l \geq m$ .

Méthodes

1 Déterminer des limites de somme, produit, inverse, quotient

Déterminer la limite des suites de termes généraux $\frac{1}{(1 - n) (n^{2} - 7)}$ et $\frac{1 + \frac{1}{n}}{n + 5}$ .

Conseils

Décomposez chacune des suites en somme, produit, inverse ou quotient de suites dont les limites sont connues.

Solution

On a $\lim_{n \to + \infty} n = + \infty$ donc $\lim_{n \to + \infty} n^{2} = + \infty$ et $\lim_{n \to + \infty} (n^{2} - 7) = + \infty$ ; $\lim_{n \to + \infty} (1 - n) = - \infty$ , ainsi $\lim_{n \to + \infty} (1 - n) (n^{2} - 7) = - \infty$ (limite d'un produit).

Par limite de l'inverse, on a $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{(1 - n) (n^{2} - 7)} = 0$ .

On a $\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$ donc $\lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$ . De plus, $\lim_{n \to + \infty} (n + 5) = + \infty$ , donc par limite d'un quotient $\lim_{n \to + \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{n + 5} = 0$ .

2 Déterminer les limites de suites monotones

Soit la suite v définie par $v_{0} = 5$ et $v_{n + 1} = \sqrt{v_{n} + 12}$ pour tout $n \in ℕ$ .

a. Montrer que, pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n} \geq 4$ .

b. On admet que la suite v est décroissante. En déduire que la suite v converge.

Conseils

On suivra un raisonnement par récurrence, qui se fait en trois étapes.

Étape 1 Initialisation : elle consiste à montrer que la propriété à démontrer ( $v_{n} \geq 4$ ) est vraie au rang 0.

Étape 2 Hérédité : on suppose la propriété vraie à un rang quelconque n ( $v_{n} \geq 4$ ), puis on en déduit qu'elle est vraie au rang suivant ( $v_{n + 1} \geq 4$ ).

Étape 3 Conclusion

Solution

a. Étape 1 On a $v_{0} \geq 4$ .

Étape 2 Si $n \in ℕ$ tel que $v_{n} \geq 4$ , alors $v_{n} + 12 \geq 16$ . Ainsi $v_{n + 1} \geq 4$ .

Étape 3 Le principe de récurrence permet de conclure que, pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n} \geq 4$ .

b. La suite v est décroissante et minorée par 4. Donc elle converge vers un réel $l tel que l \geq 4$ .

Limites : opérations et suites monotones

I Limites et opérations

À noter

II Suites monotones

Méthodes

1 Déterminer des limites de somme, produit, inverse, quotient

Conseils

Solution

2 Déterminer les limites de suites monotones

Conseils

Solution

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