Limites : opérations et suites monotones

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Fiches
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Suites


Pour déterminer la limite d’une suite, il peut être utile de la décomposer en somme, différence ou encore en quotient de deux suites dont on sait calculer les limites.

I Limites et opérations

Dans les tableaux ci-dessous, l et l sont des réels, et « F. I. » désigne une forme indéterminée, c’est-à-dire les cas où l’on ne peut pas déterminer d’emblée la limite de la suite.

Tableau de 3 lignes, 7 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Limite de u; l; l; l; + ∞; − ∞; + ∞; Ligne 2 : Limite de v; l′; + ∞; − ∞; + ∞; − ∞; − ∞; Ligne 3 : Limite de u+v; l+l′; + ∞; − ∞; + ∞; − ∞; F. I.; Tableau de 5 lignes, 8 colonnes ;Corps du tableau de 5 lignes ;Ligne 1 : Limite de u; l; l>0; l<0; 0; 0; + ∞; − ∞; Ligne 2 : Limite de v; l′; + ∞; + ∞; + ∞; 0; + ∞; + ∞; Ligne 3 : Limite de uv; l×l′; + ∞; − ∞; F. I.; 0; + ∞; − ∞; Ligne 4 : Limite de 1u; Si l≠0:1/l; 1/l; 1/l; Si u>0:+ ∞; Si u<0:− ∞; 0; 0; Ligne 5 : Limite de uv; Si l′≠0:l/l′; 0; 0; 0; F. I.; F. I.; F. I.;

Sans plus de renseignement sur les suites, on ne peut pas déterminer la limite :

de la différence de deux suites de même limite infinie («   ») ;

du quotient de deux suites de limites infinies (« / ») ;

du quotient de deux suites de limites nulles (« 0/0 ») ;

du produit de deux suites de limites respectivement nulle et infinie (« 0× »).

Pour lever l’indétermination, dans les deux premiers cas, on peut factoriser chaque terme du quotient ou de la différence par des termes prépondérants.

À noter

Certaines suites n’admettent pas de limites, par exemple les suites de termes généraux 1n et 10n.

II Suites monotones

Théorèmes : Toute suite croissante non majorée diverge vers +.

Toute suite décroissante non minorée diverge vers .

Théorèmes : Soient M et m des réels.

Toute suite croissante majorée par M converge vers un réel l tel que lM.

Toute suite décroissante minorée par m converge vers un réel l tel que lm.

Méthodes

1 Déterminer des limites de somme, produit, inverse, quotient

Déterminer la limite des suites de termes généraux 11nn27 et 1+1nn+5.

Conseils

Décomposez chacune des suites en somme, produit, inverse ou quotient de suites dont les limites sont connues.

Solution

On a limn+n=+ donc limn+n2=+ et limn+n27=+ ; limn+1n=, ainsi limn+1nn27= (limite d’un produit).

Par limite de l’inverse, on a limn+11nn27=0.

On a limn+1n=0 donc limn+1+1n=1. De plus, limn+n+5=+, donc par limite d’un quotient limn+1+1nn+5=0.

2 Déterminer les limites de suites monotones

Soit la suite v définie par v0=5 et vn+1=vn+12 pour tout n.

a. Montrer que, pour tout n, vn4.

b. On admet que la suite v est décroissante. En déduire que la suite v converge.

Conseils

On suivra un raisonnement par récurrence, qui se fait en trois étapes.

Étape 1 Initialisation : elle consiste à montrer que la propriété à démontrer (vn4) est vraie au rang 0.

Étape 2 Hérédité : on suppose la propriété vraie à un rang quelconque n (vn4), puis on en déduit qu’elle est vraie au rang suivant (vn+14).

Étape 3 Conclusion

Solution

a. Étape 1 On a v04.

Étape 2 Si n tel que vn4, alors vn+1216. Ainsi vn+14.

Étape 3 Le principe de récurrence permet de conclure que, pour tout n, vn4.

b. La suite v est décroissante et minorée par 4. Donc elle converge vers un réel ltel que l4.