La loi binomiale est la loi d'une variable aléatoire qui formalise un schéma de Bernoulli à n répétitions.

I Expérience aléatoire et loi binomiale

Considérons une expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois une même action, les répétitions étant indépendantes. Une action produit un succès avec une probabilité p.

Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès au cours des n répétitions. La loi de X est la loi binomiale de paramètres n et p et on a :

$X\left(\Omega \right)=\left\{0,1,2,\dots ,n\right\}=$ $〚0;n〛$ ;

pour tout $k\in X\left(\Omega \right)$ :

$P\left(X=k\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{\left(1-p\right)}^{n-k}=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k{q}^{n-k}$

où $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ est un coefficient binomial.

On écrit que X suit la loi $\mathcal{B}\left(n;p\right)$, en abrégé : $X~\mathcal{B}\left(n;p\right).$

La loi binomiale formalise un schéma de Bernoulli à n répétitions.

Une loi de Bernoulli est une loi binomiale de paramètres 1 et p.

II Exemples de lois binomiales et calculatrice

Une même loi binomiale décrit de nombreuses expériences aléatoires différentes. Par exemple, la loi binomiale $\mathcal{B}\left(5;\mathrm{0,6}\right)$ est la loi de la variable aléatoire :

comptant le nombre de « pile » obtenus en 5 lancers d'une pièce de monnaie truquée telle que la probabilité de « pile » soit égale à 0,6 ;

comptant le nombre de boules blanches obtenues lors d'un tirage avec remise de cinq boules dans une urne contenant 60 % de boules blanches et 40 % de boules noires.

Les calculatrices et les tableurs disposent de fonctions dédiées à la loi binomiale. Elles figurent dans les menus relatifs aux probabilités et permettent, en fournissant les valeurs de n, p et k, de calculer $P\left(X=k\right)$ et $P\left(X\le k\right)$.

Méthode

Identifier les paramètres n et p d'une loi binomiale

Des coques pour téléphone sont produites à 70 % par une machine A et à 30 % par une machine B. 5 % des coques A et 10 % des coques B ont un défaut.

a. On prélève une coque au hasard dans un stock. Quelle est la probabilité qu'elle ait un défaut ?

b. On choisit dix coques dans un stock. Celui-ci est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce choix à dix tirages avec remise indépendants d'une coque. Quelle est la probabilité d'avoir au moins deux coques ayant un défaut ? Donner une valeur approchée à ${10}^{-4}$ en utilisant la calculatrice.

CONSEILS

a. Appliquez la formule des probabilités totales, éventuellement en utilisant un arbre.

b. Utilisez une loi binomiale en identifiant n, le nombre de répétitions, et p, la probabilité de succès. Pensez à l'événement contraire de l'événement « au moins deux coques ».

Solution

a. L'arbre ci-contre résume la situation, sachant que D est l'événement « la coque présente un défaut ». Par la formule des probabilités totales on a donc :

$P\left(D\right)=\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,7}+\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,065}$.

À noter

L'événement A (respectivement B) est « la coque est produite par la machine A (la machine B) » et $\text{B}=\overline{\text{A}}$.

b. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de coques ayant un défaut quand on en prélève dix avec remise au hasard dans le stock.

On peut donc considérer que la probabilité pour qu'une coque prélevée soit défectueuse est égale à 0,065. On en déduit que la loi de X est la loi binomiale de paramètres 10 et 0,065.

On cherche donc $P\left(X\ge 2\right)$ et on trouve :

$P\left(X\ge 2\right)=1-P\left(X2\right)=1-\left(P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)\right)$.

La calculatrice donne :

$P\left(X=0\right)+P\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 0\end{array}\right){\mathrm{0,065}}^0{\mathrm{0,935}}^{10}+\left(\begin{array}{c}10\\ 1\end{array}\right){\mathrm{0,065}}^1{\mathrm{0,935}}^9\approx \mathrm{0,8656}$.

Par conséquent $P\left(X\ge 2\right)\approx 1-\mathrm{0,8656}$, soit $P\left(X\ge 2\right)\approx \mathrm{0,1344}$.