Loi binomiale

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Classe(s) : Tle ST2S - Tle STI2D - Tle STL - Tle STMG | Thème(s) : Probabilités

A Épreuve de Bernoulli

EXEMPLE

On prélève une boule d’une urne contenant 7 boules vertes et 3 boules noires. Les boules sont indistinguables au toucher et le tirage est équiprobable. Le tirage d’une boule verte est considéré comme un succès et celui d’une boule noire comme un échec.

Cette épreuve aléatoire correspond à l’arbre des probabilités ci-contre :

15789_C04_07

DÉFINITION

Une épreuve de Bernoulli de paramètre p (nombre réel compris entre 0 et 1) est une épreuve aléatoire comportant deux issues.

15789_C04_08

B Schéma de Bernoulli

EXEMPLE

Deux prélèvements dans l’urne de l’exemple du ➃ A. sont successivement réalisés, en remettant la première boule tirée dans l’urne avant d’effectuer le second tirage (tirage avec remise). Il s’agit de la répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

15789_C04_12

DÉFINITION

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est une épreuve aléatoire consistant à répéter n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Dans l’exemple ci-dessus, n=2 et p=0,7.

C Loi binomiale

Si n est un entier naturel et si k est un entier compris entre 0 et n, on note nk et on lit « k parmi n » le nombre de chemins qui réalisent exactement k succès dans l’arbre à n niveaux associé à un schéma de Bernoulli. Ces nombres sont appelés coefficients binomiaux.

On verra au paragraphe ➃ D. comment calculer les coefficients binomiaux pour n ≤ 10.

La loi binomiale de paramètres n et p notée ℬ(n, p) est la loi de la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre p.

Pour la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale ℬ(n, p), où n est un entier naturel et p un nombre réel de l’intervalle [0, 1], on a pour tout entier k compris entre 0 et n :

PX=k=nkpk1pnk.

L’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale ℬ(n, p) est : E(X) = np.

D Triangle de Pascal

Le triangle de Pascal permet d’obtenir les nombres nk

Dans le triangle de gauche ci-dessous, dit « triangle de Pascal », chaque nombre est la somme des deux nombres situés immédiatement à gauche et à droite sur la ligne du dessus, par exemple ➀ + ➁ → ➂. On obtient alors les différentes valeurs de nk indiquées à droite.

On a : nk=n1k1+n1k

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