Dans le cas des variables aléatoires continues, la loi uniforme prolonge la loi uniforme des variables aléatoires discrètes.

I Densité uniforme

Définition : La densité uniforme sur l'intervalle [a ; b] est la fonction définie sur ℝ par :

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{b-a}\text{si}x\in [a;b]\\ 0\text{si}x\notin [a;b]\end{array}$

Justification : La fonction f est visiblement positive et continue par morceaux (il y a deux points de discontinuité). De plus l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses se réduit à l'aire d'un rectangle dont les dimensions sont b − a et $\frac{1}{b-a}$ qui vaut bien 1.

II Loi uniforme

Définition : Dire que la loi d'une variable aléatoire X est la loi uniforme sur [a ; b] signifie que la densité de X est la densité uniforme. Pour tout x ∈ ℝ, sa fonction de répartition F est ainsi définie :

$\{\begin{array}{c}\text{si}x\text{⩽}a,F\left(x\right)=P\left(X\text{⩽}x\right)=0\\ \text{si}axb,F\left(x\right)=P\left(X\text{⩽}x\right)=\frac{x-a}{b-a}\\ six\text{⩾}b,F\left(x\right)=P\left(X\text{⩽}x\right)=1\end{array}$

On dit souvent en abrégé que X est une variable aléatoire uniforme sur [a ; b] et on écrit : $X~\mathcal{U}([a;b])$.

Espérance et variance :

$E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}$ et $V\left(X\right)=\frac{{\left(b-a\right)}^2}{12}$

Pour tous nombres c et d compris entre a et b : $P\left(c\text{⩽}X\text{⩽}d\right)=\frac{d-c}{b-a}$.

C'est l'aire du rectangle de largeur d − c et de hauteur $\frac{1}{b-a}$.

Méthodes

1 Formaliser la loi uniforme sur [0 ; 1]

a. Déterminer la densité uniforme f sur [0 ; 1].

b. Soit X une variable aléatoire uniforme sur [0 ; 1]. Déterminer la fonction de répartition de X et la représenter graphiquement.

conseils

a. Appliquez les résultats du cours avec a = 0 et b = 1.

b. La fonction de répartition de X est définie par F(x) = P(X ≤ x).

solution

a. On a ici a = 0 et b = 1.

Donc $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}1\text{si}x\in [0;1]\\ 0\text{si}x\notin [0;1]\end{array}\right.$

b. On trouve :

$F\left(x\right)=P\left(X\text{⩽}x\right)=\{\begin{array}{c}0\text{si}x\text{⩽}0\\ x\text{si}0x1\\ 1\text{si}x\text{⩾}1\end{array}$

2 Utiliser une loi uniforme

Un distributeur de boissons est électroniquement contrôlé pour verser dans le gobelet une quantité aléatoire comprise entre 190 ml et 210 ml. Soit X la variable aléatoire égale au volume versé dans le gobelet.

1. Trouver la loi de X.

2. En déduire la probabilité pour que l'on ait :

a. moins de 196 ml ; b. entre 193 et 201 ml.

3. Quelle quantité un utilisateur obtient-il en moyenne ?

conseils

1. Remarquez qu'aucune quantité n'est privilégiée.

2.a. C'est la probabilité que la quantité X soit inférieure ou égale à 196.

b. C'est la probabilité que la quantité X soit comprise entre 193 et 201.

c. Pensez à la signification de l'espérance.

solution

1. La quantité X est un nombre pris au hasard dans l'intervalle [190 ; 210]. Donc X suit la loi uniforme sur l'intervalle [190 ; 210].

2.a. On cherche P(X ≤ 196) et $P\left(X\le 196\right)=\frac{196-190}{210-190}=\frac{6}{20}=0,3.$

b. Cela correspond à $P\left(193\le X\le 201\right)=\frac{201-193}{210-190}=\frac{8}{20}=0,4$.

3. Un utilisateur peut espérer avoir 200 ml car $E\left(X\right)=\frac{190+210}{2}=200.$