Matrices et opérations

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Graphes et matrices


Les matrices sont des tableaux de nombres que l’on peut additionner, multiplier par un réel et multiplier entre eux dans certaines conditions.

I Définitions et représentation

Définitions : Soient n et p deux entiers naturels non nuls.

Une matrice M de format n×p associe à tout couple d’entiers i,j tels que 1in et 1jp, un nombre mij appelé coefficient.

Si n=1, M est une matrice ligne ; si p=1, M est une matrice colonne et si p=n, M est une matrice carrée d’ordre n.

Soit A une matrice carrée d’ordre n de coefficients aij : on appelle diagonale de la matrice A les coefficients a11, a22, …, ann.

Représentation : On représente une matrice par un tableau de nombres à n lignes et p colonnes ; mij étant alors le coefficient de la i-ième ligne et j-ième colonne de la matrice : m11m1pmn1mnp.

II Opérations sur les matrices carrées

Définitions : Soient n, p, A et B des matrices de format n×p.

La matrice somme des matrices A et B a pour coefficients aij+bij.

La matrice opposée de la matrice A a pour coefficients aij.

La matrice produit de la matrice Apar le réel λ a pour coefficients λaij.

Soit m et soit C une matrice de format p×m. La matrice BC produit des matrices B et C a pour coefficients bi1c1j+bi2c2j++bipcpj.

Propriétés : Soient A, B et C des matrices carrées de même ordre n, n, k et kdes réels.

A+B=B+A

k+kA=kA+kA

kAB=AkB=kAB

A+B+C=A+B+C

kA+B=kA+kB

AB+C=AB+AC

ABC=ABC

kkA=kkA

A+BC=AC+BC

Si In est la matrice identité d’ordre n et On la matrice nulle d’ordre n alors :

AIn=InA=A et AOn=OnA=On.

À noter

En général ABBA et il se peut que AB=On, alors que AOn et BOn.

Méthodes

1 Déterminer le format et certains coefficients d’une matrice

On considère les matrices A=123041, B=100020000, C=101

et D=115.

a. Déterminer le format de chacune des matrices.

b. Que valent a21 et b12 ? Que peut-on dire de la matrice B ?

Conseils

a. Il faut déterminer le nombre de lignes et le nombre de colonnes.

b. Le coefficient mij se situe sur la i-ième ligne et la j-ième colonne.

Solution

a. La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes, elle est de format 2×3. La matrice B est une matrice carrée, la matrice C est une matrice colonne et la matrice D est une matrice ligne, elles ont toutes trois pour ordre 3.

b. Le coefficient de la deuxième ligne et de la première colonne de A est 0 donc a21=0. On a de même b12=0. La matrice B est une matrice diagonale car tous ses coefficients hors de la diagonale sont nuls.

2 Additionner et multiplier des matrices

En utilisant les matrices définies ci-dessus, calculer AB, CD, DC et DB+2D.

Conseils

Le coefficient de la i-ième ligne et la j-ième colonne d’un produit s’obtient en multipliant la i-ième ligne de la première matrice par la j-ième colonne de la seconde.

Solution

On a 2718188-Eqn108, avec 1×1+2×0+3×0=1.

CD=101115=115000115 et DC=115101=6.

DB+2D=115100020000+2115=120+2210=3410.

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