Mener des calculs de probabilités

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Probabilités sur un ensemble fini


Rappels de cours

On considère A et B deux événements d’une même expérience aléatoire d’univers Ω.

1 Intersection et réunion de deux événements

 L’événement AB, intersection des événements A et B, est constitué des issues qui réalisent l’événement A et l’événement B (les deux à la fois).

À noter !AB se lit A inter B. 
AB se lit A union B.

 L’événement AB, réunion des événements A et B, est constitué des issues qui réalisent l’événement A ou l’événement B (au moins l’un des deux, c’est-à-dire l’un ou l’autre ou les deux).

 On a la relation fondamentale suivante :

P(AB)+P(AB)=P(A)+P(B)

2 Événements incompatibles

 Si aucune issue ne réalise à la fois les événements A et B, ce qui se note AB=, alors ces événements sont dits incompatibles.

 Dans ce cas, on a la relation : P(AB)=P(A)+P(B).

3 Événement contraire

À noter ! A¯ se lit A barre.

 L’événement A¯, événement contraire de l’événement A, est constitué des issues qui ne réalisent pas l’événement A.

 On a la relation suivante : P(A)+P(A¯)=1 .

Méthodes

Déterminer une probabilité à l’aide du dénombrement

On choisit au hasard une carte dans un jeu classique de trente-deux cartes. On s’intéresse à sa valeur et à sa couleur . Déterminer la probabilité des événements T  A et T  A où T désigne l’événement « la carte est un trèfle » et A « la carte est un as ».

Conseils

N’oubliez pas que l’on est dans une situation d’équiprobabilité.

 

Solution

L’événement T  A est « la carte est un trèfle et un as », c’est-à-dire « la carte est l’as de trèfle ». Comme une seule issue constitue l’événement T  A, on a P(TA)=132.

L’événement T  A est « la carte est un trèfle ou un as ». Or, dans un jeu, on a huit trèfles et quatre as. En ne comptant naturellement qu’une fois l’as de trèfle, on en déduit que 11 issues constituent l’événement T  A et que P(TA)=1132.

Déterminer une probabilité à l’aide d’une relation

Dans une cité scolaire, 39 % des élèves font du sport, 47 % jouent d’un instrument de musique et 29 % ne pratiquent ni sport ni musique. On choisit au hasard un élève de cette cité et on désigne par S l’événement « l’élève fait du sport » et par M l’événement « l’élève joue d’un instrument de musique ». En assimilant les fréquences aux probabilités, déterminer P(SM) et P(SM).

Conseils

Pensez à la notion d’événement contraire pour déterminer la première probabilité et utilisez la relation fondamentale pour la deuxième.

 

Solution

L’événement SM est réalisé si « l’élève fait uniquement du sport » ou « l’élève joue uniquement d’un instrument de musique » ou « l’élève pratique les deux ». L’événement contraire de cet événement est ainsi « l’élève ne pratique ni sport ni musique » noté S¯M¯. Or d’après l’énoncé, P(S¯M¯)=0,29. Par suite, on a P(SM)=10,29=0,71.

Par la relation fondamentale, on en déduit que :

P(SM) = P(S)+P(M)P(SM)=0,39+0,470,71=0,15.

La probabilité que l’élève pratique à la fois du sport et de la musique est alors de 0,15.