Mener un raisonnement par récurrence

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
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Mener un raisonnement par récurrence

FB_Bac_98617_MatT_S_001

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Rappels de cours

1Principe de récurrence

 Le but d’un raisonnement par récurrence est de prouver qu’une propriété dépendant d’un entier naturel est vraie pour tout entier de .

peut être une égalité, une inégalité ou une phrase.

 Pour cela, on démontre le caractère héréditaire de , c’est-à-dire : si est vraie, alors reste vraie.

est la propriété dépendant du descendant – ou successeur – de

 Il faut aussi s’assurer de l’existence d’un géniteur à tous ces descendants ! C’est pourquoi on vérifie que ( pour ) est vraie. C’est l’initialisation.

2Formalisation du principe de récurrence

Soit une propriété dépendant d’un entier naturel .

Si :a. est vraie (initialisation)

et b. pour tout de , est héréditaire, c’est-à-dire :

vraie vraie

alors : est vraie pour tout de .

3Les étapes d’une démonstration par récurrence

AInitialisation

Si l’on veut démontrer que est vraie pour tout entier naturel au moins égal à 2 par exemple, il suffit de remplacer par .

BHérédité

Il faut bien comprendre la démonstration du caractère héréditaire de . C’est l’implication «  vraie vraie » qu’il s’agit de démontrer pour tout entier .

Pour cela, on choisit un entier naturel et on suppose que est vraie pour cet entier fixé. On prouve alors que reste vraie lorsqu’on remplace par , autrement dit que est vraie.

Méthode

Démontrer par récurrence l’inégalité de Bernoulli

1. Soit un réel positif. Montrer que, pour tout entier naturel , .

2. Sans calculatrice, comparer et 1,005.

Conseils

1. La récurrence porte sur l’entier naturel . Le nombre est fixé et ne varie pas lors de la démonstration. N’oubliez pas que pour tout réel , on a .

2. Utilisez l’inégalité du 1. en posant .

Solution

à noter! On pourrait aussi démontrer l’inégalité en utilisant
le développement du binôme de Newton.

1. Nommons l’inégalité «  ».

  • Initialisation :

Pour = 0,
d’une part et d’autre part .

Par conséquent, on a bien .

Cette inégalité montre que est vraie.

  • Hérédité : Supposons que soit vraie pour un entier naturel donné et montrons qu’alors est vraie.

Nous avons .

Or, nous avons supposé que  ; donc

.

Puisque , nous en déduisons après factorisation par  que :

.

Par conséquent, .

Cette inégalité prouve que est vraie.

Il en résulte que est héréditaire.

  • Les deux points précédents montrent par récurrence que l’inégalité est vraie pour tout entier naturel . Ce qu’il fallait démontrer.

2. En posant et , on a et . Donc d’après 1.

L’inégalité est stricte car .

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