Modéliser une expérience aléatoire

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Probabilités sur un ensemble fini


Rappels de cours

1 Expérience aléatoire

 Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle plusieurs résultats sont possibles mais dont on ne peut pas dire à l’avance lequel sera réalisé.

 Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont appelés issues. L’ensemble de ces issues constitue l’univers Ω (lire « oméga ») de cette expérience.

2 Modélisation

Modéliser une expérience aléatoire consiste à associer à chaque issue de cette expérience un réel positif appelé probabilité tel que la somme de toutes ces probabilités soit égale à un.

 La donnée des issues d’une expérience aléatoire et des probabilités correspondantes est appelée loi de probabilité.

Cas particulier : Si, pour une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser, alors on est dans une situation dite d’équiprobabilité. Dans ce cas, si l’univers est constitué de n issues, la probabilité de chaque issue est égale à 1÷n.

 En répétant un grand nombre de fois une expérience aléatoire de manière identique et indépendante, la fréquence observée de chaque issue a tendance à se stabiliser autour de la probabilité que cette issue se réalise. Cette observation de la stabilisation des fréquences observées est appelée loi des grands nombres.

Méthodes

Modéliser une expérience à l’aide d’un arbre

On lance deux fois de suite une pièce de monnaie non truquée et on s’intéresse aux résultats obtenus sur la face supérieure. Déterminer la probabilité de chaque issue de cette expérience aléatoire.

Conseils

Déterminez au préalable l’univers à l’aide d’un arbre de choix.

 

Solution

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En désignant par F le côté « face » et P le côté « pile », on peut schématiser cette expérience à l’aide de l’arbre de choix ci-contre.

À noter ! Chaque issue est un couple : (résultat obtenu au 1er lancer ; résultat obtenu au 2e lancer)

Son univers Ω est alors : {(F ; F), (F ; P), (P ; F), (P ; P)}. Comme la pièce est non truquée, implicitement équilibrée, on est dans une situation d’équiprobabilité. L’univers étant constitué de quatre issues, la probabilité correspondante à chaque issue est égale à un quart.

Modéliser une expérience à l’aide de fréquences

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Enzo, Simon et Timothée jouent au célèbre jeu « pile ou face ». Après plusieurs parties, Enzo doute de la pièce utilisée. Les trois garçons lancent alors cette pièce deux cents fois. L’évolution de la fréquence d’apparition du côté pile est représentée ci-contre.

Proposer un modèle probabiliste du lancer de cette pièce.

Conseils

Pensez à la loi des grands nombres.

 

Solution

À noter ! La somme des probabilités est bien égale à 1.

Au fur et à mesure des lancers, la fréquence d’apparition du côté pile tend à se stabiliser à 0,3 donc celle du côté face à 0,7. Par la loi des grands nombres, on peut ainsi proposer le modèle probabiliste suivant qui justifie les doutes d’Enzo :

Issue

Pile

Face

Probabilité

0,3

0,7