A Forme algébrique d'un nombre complexe

Le module du nombre complexe z = a + bi est le nombre $\left|\text{z}\right|=\sqrt{{\text{a}}^{\text{2}}+{\text{b}}^{\text{2}}}$.

EXEMPLES

• Le module de 1 + 2i est : $\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$. • Le module de – 3i est : $\sqrt{0^2+{(-3)}^2}=3$.

• Le module de – 3 + j est : $\sqrt{10}$. • Le module de $-\frac{1}{2}$ est : $\frac{1}{2}$.

Si M est l'image de z, $\left|z\right|=OM$.

Pour tous points A et B d'affixes z_A et z_B, $\text{AB}=\left|{\text{z}}_{\text{B}}–{\text{z}}_{\text{A}}\right|$.

Le module d'un produit est le produit des modules.

Si $\left|z^{\prime }\right|\ne 0$, le module du quotient $\frac{z}{z^{\prime }}$ est le quotient des modules.

Un argument d'un nombre complexe non nul z = a + bi est un nombre réel θ tel que : $\left\{\begin{array}{l}\cos \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a}{\left|z\right|}.\\ \sin \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{b}{\left|z\right|}.\end{array}\right.$.

Notation : un argument de z se note : argz.

Un argument de z est une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM})$.

EXEMPLE

On considère le nombre complexe $z=\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{6}$.

Le module de z est $\left|z\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2}$, $\left|z\right|=\sqrt{8}$, $\left|z\right|=\sqrt{2}\times \sqrt{4}$, $\left|z\right|=2\sqrt{2}$.

Notons θ un argument de z.

$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{\left|z\right|}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$, $\cos \theta =\frac{1}{2}$ ; $\sin \theta =\frac{\sqrt{6}}{\left|z\right|}=\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$, $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$.

On lit dans le tableau des valeurs particulières du paragraphe ➀ B que $\theta =\frac{\pi }{3}$ (+ k2π). Un argument de z est $\frac{\pi }{3}$.

B Forme trigonométrique

Soit z = a + bi un nombre complexe non nul, avec $\left|z\right|=r$ et arg z = θ.

Une forme trigonométrique de z est : z = r(cos θ + i sin θ).

EXEMPLE

On considère le nombre complexe $z=6+2\sqrt{3}\text{i}$. On a : $\left|z\right|=4\sqrt{3}$ et $\arg z=\frac{\pi }{6}$.

Une forme trigonométrique de z est $z=4\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi }{6}+\text{i}\sin \frac{\pi }{6}\right)$.

C Forme exponentielle

Exponentielle complexe

• Pour tout nombre réel θ, on pose $\cos \theta +i\sin \theta ={\text{e}}^{i\theta }$.

• Les règles de calcul avec les exponentielles complexes sont les mêmes que celles avec les exponentielles réelles.

Forme (ou écriture exponentielle)

Si $\left|z\right|=r$ et $\arg z=\theta$, la forme trigonométrique est : $z=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$. Avec la notation $\cos \theta +i\sin \theta ={\text{e}}^{i\theta }$, on obtient : $z=r{\text{e}}^{i\theta }$.

DÉFINITION

L'écriture (ou forme) exponentielle du nombre complexe z de module r et d'argument θ est $z=r{\text{e}}^{i\theta }$.

EXEMPLES

• On considère le nombre complexe $z=2+2i$.

On établit que $\left|z\right|=2\sqrt{2}$ et que $\arg z=\frac{\pi }{4}$.

Une forme trigonométrique de z est $z=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.

Une forme (ou écriture) exponentielle de z est $z=2\sqrt{2}{\text{e}}^{i\frac{\pi }{4}}$.

• On considère le nombre complexe z dont la forme exponentielle est $z=2{\text{e}}^{-i\frac{\pi }{3}}$.

On cherche la forme algébrique de z.

$z_1=2\left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)=2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-i\sqrt{3}$.

Produit de deux nombres complexes

Si $z_1=r_1{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_1}$ et $z_2=r_1{\text{e}}^{\text{i}{\theta }_2}$, $z_1{z}_2=r_1{r}_2{\text{e}}^{\text{i}\left({\theta }_1+{\theta }_2\right)}$.

$\left|z_1\times z_2\right|=\left|z_1\right|\times \left|z_2\right|$ et $\arg \left(z_1\times z_2\right)=\arg z_1+\arg z_2$ (à un nombre entier de tours près).