Les lois énoncées par Kepler au XVII^e siècle décrivent les caractéristiques du mouvement des planètes autour du Soleil : trajectoire, vitesse et période de révolution.

I Lois de Kepler

1^re loi : loi des orbites. Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un des foyers.

Une ellipse est une courbe fermée caractérisée par deux foyers F et F′ et par une distance a appelée demi-grand axe. La distance Soleil-planète varie entre le point le plus proche P appelé périhélie et le point le plus éloigné A appelé aphélie : le grand axe est le segment reliant le périhélie et l'aphélie.

2^e loi : loi des aires. Le rayon Soleil-planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. Les aires balayées pendant une même durée sont égales : A₁ = A₂ = A₃.

3^e loi : loi des périodes. Le carré de la période de révolution (T²) est proportionnel au cube du demi-grand axe (a³).

Le quotient $\frac{T^2}{a^3}$ est le même pour toutes les planètes qui tournent autour du Soleil.

II Accélération dans un champ de gravitation

Un satellite S placé dans le champ de gravitation d'un astre attracteur A est soumis à une force d'attraction gravitationnelle :

${\overrightarrow{F}}_{\text{A}/\text{S}}=-\text{G}\frac{M_{\text{A}}{m}_{\text{s}}}{r^2}\overrightarrow{u}$ avec $\overrightarrow{u}$ le vecteur unitaire dirigé de l'astre attracteur vers le satellite.

D'après la 2^e loi de Newton, si la force gravitationnelle est la seule force, alors l'accélération du satellite est : $\overrightarrow{a}$ = $\frac{{\overrightarrow{F}}_{\text{A}/\text{S}}}{m_{\text{S}}}=-\text{G}\frac{M_{\text{A}}}{r^2}\overrightarrow{u}$.

Son accélération est donc toujours dirigée vers le centre de l'astre attracteur.

Méthode

Déterminer les caractéristiques d'un mouvement circulaire dans un champ de gravitation

Un satellite de masse m tourne autour d'un astre de masse M sur une orbite circulaire de rayon r.

a. Déterminer l'expression vectorielle de son accélération.

b. Montrer que le mouvement est uniforme et donner l'expression de la valeur de la vitesse du satellite.

c. En déduire l'expression de sa période de révolution, puis vérifier l'accord avec la 3^e loi de Kepler.

Conseils

a. Utilisez la loi de gravitation et la 2^e loi de Newton.

b. Comparez l'expression obtenue avec celle de l'accélération dans le repère de Frenet.

c. Écrivez la relation entre la période de révolution et la vitesse du satellite.

Solution

a. D'après la loi de gravitation universelle et la 2^e loi de Newton, le satellite est soumis à une force d'attraction : ${\overrightarrow{F}}_{\text{A}/\text{S}}=-\text{G}\frac{Mm}{r^2}\overrightarrow{u}= m_{\text{S}}\overrightarrow{a}$.

Donc : $\overrightarrow{a}=-\text{G}\frac{M}{r^2}\overrightarrow{u}$, l'accélération est centripète.

b. L'accélération du satellite s'exprime dans le repère de Frenet : $\overrightarrow{a}=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}\overrightarrow{t}+\frac{v^2}{r}\overrightarrow{n}$.

Puisque la trajectoire est circulaire, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{n}$ sont opposés. On peut donc écrire :

$\overrightarrow{a}=-\text{G}\frac{M}{r^2}\overrightarrow{u}$ = $G\frac{M}{r^2}\overrightarrow{n}$ = $\frac{\text{d}v}{\text{d}t}\overrightarrow{t}+\frac{v^2}{r}\overrightarrow{n}$.

Selon $\overrightarrow{t}$ : $\frac{\text{d}v}{\text{d}t}=0$, donc la valeur de la vitesse du satellite est constante, le mouvement est uniforme.

Selon $\overrightarrow{n}$ : $\text{G}\frac{M}{r^2}\overrightarrow{n}$ = $\frac{v^2}{r}\overrightarrow{n}$. Soit : $\frac{v^2}{r}=\text{G}\frac{M}{r^2}$.

La valeur de la vitesse est donc : $v=\sqrt{\frac{\text{GM}}{r}}$.

c. Le périmètre du cercle trajectoire (2πr) est parcouru pendant une période T à la vitesse : $v=\sqrt{\frac{\text{GM}}{r}}$ = $\frac{2\text{π}r}{T}$. Sa période de révolution est donc : $T=\frac{2\text{π}r}{v}=2\text{π}\sqrt{\frac{r^3}{\text{GM}}}$.

Cette expression est en accord avec la 3^e loi de Kepler : $\frac{T^2}{a^3}=\frac{T^2}{r^3}=\frac{4{\text{π}}^2}{\text{GM}}$ = C^te.