Terminale générale Physique-chimie Lien entre les actions appliquées à un système et son mouvement

Dans un champ de pesanteur, le centre de masse d'un projectile en chute libre a un mouvement déterminé par ses conditions initiales.

I Conditions initiales

Un projectile de masse m est lancé à partir d'un point O à la date t₀ = 0 avec une vitesse initiale $\vec{v_{0}}$ . Le mouvement de son centre de masse G est étudié dans le repère (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ ) lié au référentiel terrestre.

L'axe (O ; $\vec{v_{0}}$ ) est dans le plan vertical (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) et l'angle de tir est noté α.

Les coordonnées de $\vec{v_{0}}$ sont : $(\begin{matrix} v_{0 x} = v_{0} \cos α \\ v_{0 y} = v_{0} \sin α \\ v_{0 z} = 0 \end{matrix})$

Le champ de pesanteur est uniforme : $\vec{g} = - g \vec{j}$ .

II Mouvement d'un projectile en chute libre

Si les frottements de l'air et la poussée d'Archimède sont négligeables, le projectile n'est soumis qu'à son poids : on dit qu'il est en chute libre. La 2^e loi de Newton s'exprime alors : $\sum^{} \vec{F_{ext}} = m \vec{a_{G}} = \vec{P} = m \vec{g}$ donc : $\vec{a_{G}} = \vec{g}$ .

Les coordonnées de $\vec{v_{G}}$ sont les primitives des coordonnées de $\vec{a_{G}}$ telles qu'à t = 0 leurs valeurs soient les coordonnées de $\vec{v_{0}}$ .

$\vec{a_{G}} = \frac{d \vec{v_{G}}}{d t} donc \vec{a_{G}} (\begin{matrix} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - g \\ a_{z} = 0 \end{matrix}) \Rightarrow \vec{v_{G}} (\begin{matrix} v_{x} = v_{0 x} = v_{0} \cos α \\ v_{y} = - g t + v_{0 y} = - g t + v_{0} \sin α \\ v_{z} = v_{0 z} = 0 \end{matrix})$

Les coordonnées de $\vec{O G}$ sont les primitives des coordonnées de $\vec{v_{G}}$ telles qu'à t = 0 leurs valeurs soient nulles car ${\vec{OG}}_{0} = \vec{0}$ .

$\vec{v_{G}} = \frac{d \vec{OG}}{d t} donc \vec{v_{G}} (\begin{matrix} v_{x} = v_{0} \cos α \\ v_{y} = - g t + v_{0} \sin α \\ v_{z} = 0 \end{matrix}) \Rightarrow \vec{OG} (\begin{matrix} x = (v_{0} \cos α) t \\ y = - 0,5 g t^{2} + (v_{0} \sin α) t \\ z = 0 \end{matrix})$

À noter

Dans le cas d'une chute libre, le vecteur accélération de G est confondu avec le vecteur champ de pesanteur. Il est constant et indépendant de la masse du projectile.

$v_{z}$ est constamment nulle donc le mouvement du projectile s'effectue dans le plan vertical contenant $\vec{v_{0}}$ : le mouvement est plan. La vitesse horizontale $v_{x} = v_{0 x} = v_{0} \cos α$ est constante : le mouvement suivant l'horizontale est uniforme.

Si l'angle de tir vaut 90°, cos α = 0 et sin α = 1, x = 0 : le mouvement est vertical suivant l'axe Oy.

Méthode

Exploiter les équations horaires et établir l'équation de la trajectoire

Un projectile est lancé à partir d'un point A avec une vitesse initiale de 7,3 m · s⁻¹ et un angle de 52° par rapport à l'horizontale dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et de valeur est g = 9,8 N · kg⁻¹.

Le mouvement de son centre de masse G est étudié dans le repère (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ).

Les coordonnées des vecteurs du mouvement sont :

$\vec{a_{G}} (\begin{matrix} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - g \end{matrix}) \Rightarrow \vec{v_{G}} (\begin{matrix} v_{x} = v_{0} \cos α \\ v_{y} = - g t + v_{0} \sin α \end{matrix}) \Rightarrow \vec{OG} (\begin{matrix} x = (v_{0} \cos α) t + 0 \\ y = - \frac{g t^{2}}{2} + (v_{0} \sin α) t + 2 \end{matrix})$

a. Déterminer les coordonnées du point A (position initiale de G).

b. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse initiale au moment du lancement.

c. Établir l'équation de la trajectoire et en déduire sa nature.

Conseils

a. et b. Utilisez les équations des coordonnées des vecteurs position et vitesse.

c. Établissez une relation entre les coordonnées x et y du vecteur position.

Solution

a. Pour déterminer les coordonnées du point A, il suffit de choisir t = 0 dans les coordonnées du vecteur position : $\vec{OA} = \vec{OG} (t = 0) (\begin{matrix} x = 0 \\ y = 2 \end{matrix})$ .

b. Les coordonnées du vecteur vitesse initiale $\vec{v_{0}}$ sont déterminées de la même manière :

$\vec{v_{0}} = \vec{v_{G}} (t = 0) (\begin{matrix} v_{x} = 7,3 \times \cos 52 \\ v_{y} = 7,3 \times \sin 52 \end{matrix}) \vec{v_{0}} (\begin{matrix} v_{x} = 4,5 \\ v_{y} = 5,8 \end{matrix})$

c. L'équation de la trajectoire est la relation qui lie les coordonnées x et y.

L'équation $x = (v_{0} \cos α) t$ donne : $t = \frac{x}{v_{0} \cos α}$ .

En reportant dans l'équation y(t) :

$y = - \frac{g t^{2}}{2} + (v_{0} \sin α) t + 2$ ,

on obtient : $y = - \frac{g}{2 v_{0}^{2} \cos^{2} α} x^{2} + (\tan α) x + 2$

Numériquement : $y = - 0,24 x^{2} + 1,3 x + 2$

C'est l'équation d'une trajectoire parabolique.

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme