Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Lien entre les actions appliquées à un système et son mouvement


Dans un champ de pesanteur, le centre de masse d’un projectile en chute libre a un mouvement déterminé par ses conditions initiales.

I Conditions initiales

Un projectile de masse m est lancé à partir d’un point O à la date t0 = 0 avec une vitesse initiale v0. Le mouvement de son centre de masse G est étudié dans le repère (O ; i, j, k) lié au référentiel terrestre.

L’axe (O ; v0) est dans le plan vertical (O ; i, j) et l’angle de tir est noté α.

Les coordonnées de v0 sont : v0x=v0 cos αv0y=v0 sin αv0z=0

Le champ de pesanteur est uniforme : g=gj.

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II Mouvement d’un projectile en chute libre

Si les frottements de l’air et la poussée d’Archimède sont négligeables, le projectile n’est soumis qu’à son poids : on dit qu’il est en chute libre. La 2e loi de Newton s’exprime alors : Fext=maG=P=mg donc : aG=g.

Les coordonnées de vG sont les primitives des coordonnées de aG telles qu’à t = 0 leurs valeurs soient les coordonnées de v0.

aG=dvGdt donc aG ax=0ay=gaz=0vG vx=v0x=v0cosαvy=gt+v0y=gt+v0sinαvz=v0z=0

Les coordonnées de OG sont les primitives des coordonnées de vG telles qu’à t = 0 leurs valeurs soient nulles car OG0=0.

vG=dOGdt donc vG vx=v0cosαvy=gt+v0sinαvz=0  OG x=v0cosαty= 0,5gt2+v0sinαtz=0

À noter

Dans le cas d’une chute libre, le vecteur accélération de G est confondu avec le vecteur champ de pesanteur. Il est constant et indépendant de la masse du projectile.

vz est constamment nulle donc le mouvement du projectile s’effectue dans le plan vertical contenant v0 : le mouvement est plan. La vitesse horizontale vx=v0x=v0cosα est constante : le mouvement suivant l’horizontale est uniforme.

Si l’angle de tir vaut 90°, cos α = 0 et sin α = 1, x = 0 : le mouvement est vertical suivant l’axe Ox.

Méthode

Exploiter les équations horaires et établir l’équation de la trajectoire

Un projectile est lancé à partir d’un point A avec une vitesse initiale de 7,3 m · s1 et un angle de 52° par rapport à l’horizontale dans le champ de pesanteur terrestre uniforme et de valeur est g = 9,8 N · kg1.

Le mouvement de son centre de masse G est étudié dans le repère (O ; i, j).

Les coordonnées des vecteurs du mouvement sont :

aGax=0ay=gvGvx=v0cosαvy=gt+v0sinαOGx=v0cosαt+0y= gt22+v0sinαt+2

a. Déterminer les coordonnées du point A (position initiale de G).

b. Calculer les coordonnées du vecteur vitesse initiale au moment du lancement.

c. Établir l’équation de la trajectoire et en déduire sa nature.

Conseils

a. et b. Utilisez les équations des coordonnées des vecteurs position et vitesse.

c. Établissez une relation entre les coordonnées x et y du vecteur position.

Solution

a. Pour déterminer les coordonnées du point A, il suffit de choisir t = 0 dans les coordonnées du vecteur position : OA=OGt=0 x=0y=2.

b. Les coordonnées du vecteur vitesse initiale v0 sont déterminées de la même manière :

v0=vGt=0vx=7,3 ×cos52vy=7,3 ×sin52v0vx=4,5vy=5,8

c. L’équation de la trajectoire est la relation qui lie les coordonnées x et y.

L’équation x=v0cosαt donne : t=xv0cosα.

En reportant dans l’équation y(t) :

y=gt22+v0sinαt+2,

on obtient : y=g2v02cos2αx2+tanαx+2

Numériquement : y=0,24 x2+1,3 x+2

C’est l’équation d’une trajectoire parabolique.

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