Nombre dérivé et tangente

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Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Dérivation

La notion de dérivabilité d’une fonction peut se définir d’un point de vue géométrique. En effet, le coefficient directeur de la tangente en un point d’abscisse a de la courbe représentant cette fonction est le nombre dérivé de la fonction en a.

I Nombre dérivé d’une fonction en un point

1 Taux de variation

À noter

C’est le coefficient directeur de la droite (AM) où A est le point de la courbe représentant f d’abscisse a et M le point d’abscisse a + h.

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, soit a un réel appartenant à I tel que a + h soit aussi dans I, pour h réel non nul.

On appelle taux de variation de f entre a et a + h le réel t(h) défini par :

t(h)=f(a+h)f(a)h

2 Nombre dérivé en un point

On dit que f est dérivable en a, si la limite lorsque h tend vers 0 du taux de variation de f entre a et a + h est un nombre réel.

Dans ce cas, la limite du taux de variation est appelée nombre dérivé de f en a. On note cette limite f (a) et on a :

f(a)=limh0f(a+h)f(a)h

II Tangente en un point à la courbe représentative d’une fonction

05285_chap04_fiche12i01

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, a un nombre réel appartenant à I. Soit 𝒞 la courbe représentant f dans un repère du plan. Soit A(a ; f(a)) le point de 𝒞 d’abscisse a. On appelle tangente à la courbe 𝒞 la droite passant par le point A et de coefficient directeur f (a).

L’équation de cette tangente est :

y = f (a)(x a) + f(a)

Méthodes

1 Calculer un nombre dérivé

conseils

On calcule le taux de variation de f entre 2 et 2 + h, puis sa limite lorsque h tend vers 0.

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2 + x. Déterminer, s’il existe, le nombre dérivé de f en 2.

solution

On calcule le taux de variation t(h) :

t(h)=f(2+h)f(2)h=(2+h)2+(2+h)(22+2)h

=4+4h+h2+2+h6h=h2+5hh=h+5.

Puis on calcule la limite de ce taux de variation lorsque h tend vers 0. On a limh0t(h)=limh0(h+5)=5.

On en déduit que le nombre dérivé de f en 2 vaut 5, on a donc f(2) = 5.

2 Lire un nombre dérivé

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On a tracé la courbe représentative d’une fonction f et ses tangentes aux points d’abscisses –1, 0 et 2. Déterminer graphiquement f (–1), f (0) et f (2).

conseils

Pour lire graphiquement f (a) :

– on repère le point d’abscisse a sur la courbe ;

– on repère la tangente à la courbe en ce point ;

– on lit le coefficient directeur de cette droite (si la tangente est parallèle à l’axe des abscisses son coefficient directeur est nul).

solution

À noter

Le coefficient directeur d’une droite (AD) est aussi donné par le rapport yDyAxDxA.

f (–1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d’abscisse –1. Cette tangente passe par le point A de coordonnées (–1 ; 1) et par le point D de coordonnées (0 ; 2,5). Le coefficient directeur est égal à la valeur du déplacement vertical correspondant à un déplacement horizontal de 1 vers la droite, soit 1,5. On a donc f(–1) = 1,5.

De même le coefficient directeur de la tangente en B est f(0) = –1.

La tangente en C est parallèle à l’axe des abscisses donc f(2) = 0.

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