Fiche de révision

Nombre dérivé et tangente

Contenu

La notion de dérivabilité d'une fonction peut se définir d'un point de vue géométrique. En effet, le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse a de la courbe représentant cette fonction est le nombre dérivé de la fonction en a.

I Nombre dérivé d'une fonction en un point

1 Taux de variation

À noter

C'est le coefficient directeur de la droite (AM) où A est le point de la courbe représentant f d'abscisse a et M le point d'abscisse a + h.

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I, soit a un réel appartenant à I tel que a + h soit aussi dans I, pour h réel non nul.

On appelle taux de variation de f entre a et a + h le réel t(h) défini par :

t(h)=f(a+h)f(a)h

2 Nombre dérivé en un point

On dit que f est dérivable en a, si la limite lorsque h tend vers 0 du taux de variation de f entre a et a + h est un nombre réel.

Dans ce cas, la limite du taux de variation est appelée nombre dérivé de f en a. On note cette limite f (a) et on a :

f(a)=limh0f(a+h)f(a)h

II Tangente en un point à la courbe représentative d'une fonction

05285_chap04_fiche12i01

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, a un nombre réel appartenant à I. Soit la courbe représentant f dans un repère du plan. Soit A(a ; f(a)) le point de d'abscisse a. On appelle tangente à la courbe la droite passant par le point A et de coefficient directeur f (a).

L'équation de cette tangente est :

y = f (a)(x a) + f(a)

Méthodes

1 Calculer un nombre dérivé

conseils

On calcule le taux de variation de f entre 2 et 2 + h, puis sa limite lorsque h tend vers 0.

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x2 + x. Déterminer, s'il existe, le nombre dérivé de f en 2.

solution

On calcule le taux de variation t(h) :

t(h)=f(2+h)f(2)h=(2+h)2+(2+h)(22+2)h

=4+4h+h2+2+h6h=h2+5hh=h+5.

Puis on calcule la limite de ce taux de variation lorsque h tend vers 0. On a limh0t(h)=limh0(h+5)=5.

On en déduit que le nombre dérivé de f en 2 vaut 5, on a donc f(2) = 5.

2 Lire un nombre dérivé

05285_chap04_fiche12i02

On a tracé la courbe représentative d'une fonction f et ses tangentes aux points d'abscisses –1, 0 et 2. Déterminer graphiquement f (–1), f (0) et f (2).

conseils

Pour lire graphiquement f (a) :

– on repère le point d'abscisse a sur la courbe ;

– on repère la tangente à la courbe en ce point ;

– on lit le coefficient directeur de cette droite (si la tangente est parallèle à l'axe des abscisses son coefficient directeur est nul).

solution

À noter

Le coefficient directeur d'une droite (AD) est aussi donné par le rapport yDyAxDxA.

f (–1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse –1. Cette tangente passe par le point A de coordonnées (–1 ; 1) et par le point D de coordonnées (0 ; 2,5). Le coefficient directeur est égal à la valeur du déplacement vertical correspondant à un déplacement horizontal de 1 vers la droite, soit 1,5. On a donc f(–1) = 1,5.

De même le coefficient directeur de la tangente en B est f(0) = –1.

La tangente en C est parallèle à l'axe des abscisses donc f(2) = 0.

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