Nombre dérivé ; fonction dérivée

A Définitions (rappels)

Définition et notation du nombre dérivé

Soit f une fonction dont la courbe représentative a une tangente au point d'abscisse a.

• Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de cette tangente.

• Le nombre dérivé de f en a est noté f′(a).

Définition de fonction dérivable et de fonction dérivée

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si f admet un nombre dérivé en tout point de I.

• La fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x s'appelle fonction dérivée de f et se note f′.

B Dérivées des fonctions usuelles

Le tableau suivant, dans lequel la variable est x, donne les résultats « à savoir ».

ℕ* désigne l'ensemble des nombres entiers strictement positifs.

C Opérations sur les fonctions dérivables (rappels)

Dans ce qui suit, u et v sont deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I.

EXEMPLES

1. Soit f la fonction définie sur [1, 10] par : $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ ;

pour tout x de [1, 10], $f\text{'}\left(x\right)=1–\frac{1}{x^2}$.

2. Soit g la fonction définie sur ]0, + ∞[ par : $g\left(x\right)=\frac{3}{4}\left(x+\frac{1}{x}\right)$ ;

pour tout x de ]0, + ∞[, $g^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{4}\left(1–\frac{1}{x^2}\right)$.

3. Soit h la fonction définie sur ℝ par : h(x) = (3x + 1) (– x + 2) ;

pour tout x de ℝ, h′(x) = 3(– x + 2) + (3x + 1) (– 1) ; h′(x) = – 6x + 5.

4. Soit i la fonction définie sur ℝ par : i(x) = 4x³ – 7x² + 2x + 7 ;

pour tout x de ℝ, i′(x) = 4(3x²) – 7 (2x) + 2 ; i′(x) = 12x² – 14x + 2.

5. Soit j la fonction définie sur [0, 10] par : $j\left(x\right)=\frac{2x+1}{3x+4}$.

Pour tout x de [0, 10], $j^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2\right)(3x+4)–(2x+1)\left(3\right)}{{(3x+4)}^2}$ ; $j^{\prime }\left(x\right)=\frac{5}{{(3x+4)}^2}$.

6. Soit k la fonction définie sur ℝ par :

$k\left(t\right)=\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$.

Pour tout t de ℝ, $k^{\prime }\left(t\right)=3\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)-2\sin \left(2t+\frac{\pi }{6}\right)$.

7. Soit l la fonction définie sur ℝ par : $l\left(x\right)=\left(2x-1\right){\text{e}}^x$.

Pour tout x de ℝ, $l^{\prime }\left(x\right)=2{\text{e}}^x+\left(2x-1\right){\text{ e}}^x=\left[2+\left(2x-1\right)\right]{\text{ e}}^x$, $l^{\prime }\left(x\right)=\left(2x+1\right){\text{ e}}^x$.

D Dérivées des fonctions composées usuelles

Dans ce qui suit, u est une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

EXEMPLES

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : $f\left(x\right)={\left(7x+1\right)}^2$ ; pour tout x de ℝ, $f^{\prime }\left(x\right)=2\left(7\right){\left(7x+1\right)}^{2-1}=14\left(7x+1\right)$.

2. Soit g la fonction définie sur $\left]\frac{1}{2},+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=\frac{3}{{\left(2x–1\right)}^2}$. La fonction g est de la forme : $g=3u^{–2}$ où u est définie sur $\left]\frac{1}{2},+\infty \right[$ par : $u\left(x\right)=2x–1$.

Donc $g^{\prime }\left(x\right)=3\times \left(–2\right)\times u^{–3}$, d'après le résultat . $u^{\prime }\left(x\right)=2$ donc $g^{\prime }\left(x\right)=–6{\left(2x–1\right)}^{–3}=\frac{–6}{{\left(2x–1\right)}^3}.$

3. Soit h la fonction définie sur $ℝ$ par $h\left(t\right)=\left(2t+3\right){\text{ e}}^{–2t+\frac{1}{2}}$. La fonction h est le produit des deux fonctions v et w définies sur $ℝ$ par $v\left(t\right)=2t+3$ et $w\left(t\right)={\text{e}}^{–2t+\frac{1}{2}}$. Donc $h^{\prime }\left(t\right)=v^{\prime }\left(t\right)\times w\left(t\right)+v\left(t\right)\times w^{\prime }\left(t\right)$, d'après le résultat . $v^{\prime }\left(t\right)=2$ et, comme $w\left(t\right)={\text{e}}^{u\left(t\right)}$ avec $u\left(t\right)=2t+\frac{1}{2}$, donc $u^{\prime }\left(t\right)=-2$, on a : $w^{\prime }\left(t\right)=u^{\prime }\left(t\right)\times {\text{e}}^{u\left(t\right)}=-2{\text{e}}^{-2t+\frac{1}{2}}$, d'après le résultat .

Donc $h^{\prime }\left(t\right)=2\times {\text{e}}^{-2t+\frac{1}{2}}+\left(2t+3\right)\times \left(-2{\text{e}}^{-2t+\frac{1}{2}}\right)$.

$h^{\prime }\left(t\right)=2\times {\text{e}}^{-2t+\frac{1}{2}}-4t{\text{ e}}^{-2t+\frac{1}{2}}-6{\text{e}}^{-2t+\frac{1}{2}}=\left(-4-4t\right){\text{ e}}^{-2t+\frac{1}{2}}$.

4. Soit k la fonction définie sur $\left]-\frac{1}{3},+\infty \right[$ par $k\left(t\right)=\ln \left(3t+1\right)$. On a $k\left(t\right)=\ln \left(u\left(t\right)\right)$ avec $u\left(t\right)=3t+1$. On a $u^{\prime }\left(t\right)=3$. D'après le résultat , on a $k^{\prime }\left(t\right)=\frac{u^{\prime }\left(t\right)}{u\left(t\right)}=\frac{3}{3t+1}$.

E Sens de variation d'une fonction

Si f est dérivable sur l'intervalle I et si la dérivée f′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Si f est dérivable sur l'intervalle I et si la dérivée f′ est positive sur I, alors f est croissante sur I.

Si f est dérivable sur l'intervalle I et si la dérivée f′ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.