Fiche de révision

Notions d'équation différentielle et de primitive

Contenu


Les équations différentielles permettent de relier une fonction et ses dérivées, alors que la recherche de primitives est l'opération inverse de la dérivation.

I Solution d'une équation différentielle

Définition : On appelle équation différentielle une équation liant une fonction (qui est donc l'inconnue de l'équation) et ses dérivées.

Exemples : y=1y;y=y2;y+ω2y=0.

On appelle solution de l'équation différentielle (E) sur un intervalle I une fonction définie sur I qui vérifie (E) pour tous les réels de I.

Exemple : La fonction x1x est solution sur ]0 ; + ∞[ de l'équation différentielle y=y2.

Résoudre une équation différentielle (E) sur un intervalle I revient à trouver l'ensemble des solutions de (E) sur I.

Exemple : Les solutions sur ℝ de l'équation différentielle y=y sont les fonctions de la forme ↦ CexC est un réel quelconque.

À noter

La fonction exponentielle est l'unique solution f de l'équation différentielle y  ′ = y, qui vérifie f(0) = 1.

II Notion de primitive et propriétés

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

Définition : On appelle primitive de f sur I toute solution sur I de l'équation différentielle y=f.

Conséquence : F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et :

pour tout réel x de I, Fx=fx

Propriétés :

 Toute fonction continue sur un intervalle I ­admet des primitives sur I.

 Si F et G sont deux primitives d'une même fonction f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout ∈ I, F(x= G(x+ k.

À noter

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante.

Méthode

Approcher une solution par la méthode d'Euler

On considère l'équation différentielle E:y=y+2.

On note f la solution de (E) telle que f(x0) = y0 (on admet qu'il en existe une et une seule).

Pour > x0, écrire un algorithme qui permet de déterminer, par la méthode d'Euler, une approximation de f(a), avec un pas h.

Rappel : La courbe représentative de f admet une tangente en chacun de ses points M(α ; f(α)), et pour h très petit, on a fα+hfα+h×fα. On peut ainsi obtenir des valeurs approchées de f(x) pour x proche de α.

conseils

Étape 1 On définit les suites (xn) et (yn) pour ≥ 1 par xxn - 1 + h et yn f(xn). Donnez une approximation du terme général yn.

Étape 2 Écrivez l'algorithme demandé.

solution

Étape 1 On pose M0(x0 ; y0). On construit une suite de points Mn(xn ; yn) tels que, pour ≥ 1, xn = xn - 1 + h et yn f(xn) = f(xn - 1 + h).

On a donc ynfxn1+h×fxn1. Or f(xn - 1) = yn - 1 et f est solution de (E) donc fxn1=fxn1+2=yn1+2. D'où yn ≈ yn - 1 (1 - h+ 2h.

Étape 2

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