Les équations différentielles permettent de relier une fonction et ses dérivées, alors que la recherche de primitives est l'opération inverse de la dérivation.

I Solution d'une équation différentielle

Définition : On appelle équation différentielle une équation liant une fonction (qui est donc l'inconnue de l'équation) et ses dérivées.

Exemples : $y^{\prime }=y;y^{\prime }=y^2;y^{″}+{\text{ω}}^{2}y=0.$

On appelle solution de l'équation différentielle $\left(\text{E}\right)$ sur un intervalle I une fonction définie sur I qui vérifie $\left(\text{E}\right)$ pour tous les réels de I.

Exemples : La fonction $x\mapsto -\frac{1}{x}$ est solution sur $\left]0;+\text{}\infty \right[$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=y^2.$ Les fonctions $t\mapsto \cos \left(\text{ω}t\right)$ et $t\mapsto \sin \left(\text{ω}t\right)$ sont solutions sur $\text{ℝ}$ de l'équation différentielle $y^{″}+{\text{ω}}^{2}y=0.$

Résoudre une équation différentielle $\left(\text{E}\right)$ sur un intervalle I revient à trouver l'ensemble des solutions de $\left(\text{E}\right)$ sur I.

Exemple : Les solutions sur $\text{ℝ}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=y$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto C{\mathrm{e}}^x$ où C est un réel quelconque.

II Notion de primitive et propriétés

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

Définition : On appelle primitive de f sur I toute solution sur I de l'équation différentielle $y^{\prime }=f.$

Conséquence : F est une primitive de f sur I si et seulement si F est dérivable sur I et :

pour tout réel x de I, $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$

Propriétés :

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Si F et G sont deux primitives d'une même fonction f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout $x\in \text{I},$$F\left(x\right)=G\left(x\right)+k$.

Méthode

Approcher une solution par la méthode d'Euler

On considère l'équation différentielle $\left(\text{E}\right):y^{\prime }=-y+2.$

On note f la solution de $\left(\text{E}\right)$ telle que $f\left(x_0\right)=y_0$ (on admet qu'il en existe une et une seule).

Pour $a>x_0$, écrire un algorithme qui permet de déterminer, par la méthode d'Euler, une approximation de $f\left(a\right)$, avec un pas $h.$

Rappel : La courbe représentative de f admet une tangente en chacun de ses points $M\left(\text{α};f\left(\text{α}\right)\right)$, et pour h très petit, on a $f\left(\text{α}+h\right)\approx f\left(\text{α}\right)+h\times f^{\prime }\left(\text{α}\right).$ On peut ainsi obtenir des valeurs approchées de $f\left(x\right)$ pour x proche de α.

Conseils

Étape 1 On définit les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ pour $n\ge 1$ par $x_n=x_{n-1}+h$ et $y_n=f\left(x_n\right).$ Donnez une approximation du terme général $y_n.$

Étape 2 Écrivez l'algorithme demandé.

Solution

Étape 1 On pose ${\text{M}}_0\left(x_0;y_0\right)$. On construit une suite de points ${\text{M}}_n\left(x_n;y_n\right)$ tels que, pour $n\ge 1,$$x_n=x_{n-1}+h$ et $y_n=f\left(x_n\right)=f\left(x_{n-1}+h\right).$

On a donc $y_n\approx f\left(x_{n-1}\right)+h\times f^{\prime }\left(x_{n-1}\right).$ Or $f\left(x_{n-1}\right)=y_{n-1}$ et f est solution de $\left(\text{E}\right)$ donc $f^{\prime }\left(x_{n-1}\right)=-f\left(x_{n-1}\right)+2=-y_{n-1}+2.$ D'où $y_n\approx y_{n-1}\left(1-h\right)+2h$.

Étape 2