Notions de limite

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Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Suites numériques, modèles discrets

Il peut être intéressant d’étudier le comportement à long terme d’une suite. Les termes peuvent tendre vers un nombre, devenir extrêmement grands ou avoir un comportement chaotique…

I Limites finies et infinies

Une suite de terme général un admet pour limite +∞, si ses termes deviennent aussi grands que l’on veut à partir d’un certain rang. On note limn+un=+.

Exemple : les suites de termes généraux n, n2 et n ont pour limite +∞.

Une suite de terme général un admet pour limite un réel , si ses termes ­deviennent aussi proches que l’on veut de à partir d’un certain rang. On note limn+un=.

Exemple : les suites de termes généraux 1n, 1n2 et 1n admettent pour limite 0.

II Algorithme

Le rang à partir duquel les termes d’une suite réalisent une des conditions précédentes peut être recherché à l’aide d’un algorithme. On parle alors de seuil à partir duquel la condition est réalisée.

Algorithme de seuil pour une suite de limite +∞ :

Suite un = f (n)

Suite un + 1 = f (un)

U  f (0)

N  0

Tant que U < A

  N  N + 1

  U  f (N)

U  u0

N  0

Tant que U < A

  N  N + 1

  U  f (U)

À la fin de l’exécution de l’un ou l’autre de ces algorithmes, la variable N contient le premier rang à partir duquel un A.

Algorithme de seuil pour une suite de limite ℓ :

Suite un = f (n)

Suite un + 1 = f (un)

U  f (0)

N  0

Tant que U < E et U >  + E

  N  N + 1

  U  f (N)

U  u0

N  0

Tant que U < E et U >  + E

  N  N + 1

  U  f (U)

À noter

Sur les calculatrices, on utilise les commandes While et While End ou While et End.

À la fin de l’exécution de l’un ou l’autre de ces algorithmes, la variable N contient le premier rang à partir duquelE un ℓ + E.

Méthodes

1 Conjecturer la limite d’une suite

On considère les suites de termes généraux un=n+1n et vn=31n.

Que peut-on dire du comportement de ces suites pour de grandes valeurs de n ?

conseils

On peut, dans un premier temps, tenter de comparer ces suites à des suites dont la limite est connue. On peut utiliser ensuite un tableur pour conjecturer ce comportement.

solution

On a pour tout entier n > 0, un > n donc un est aussi grand que l’on veut à partir d’un certain rang : cette suite semble admettre pour limite +∞.

1n est aussi proche que l’on veut de zéro pour n suffisamment grand, donc

1n également : la suite (vn) semble admettre pour limite 3.

2 Utiliser un algorithme de seuil

On considère la suite de terme général un=1+12n.

On admet que la suite u est décroissante et admet pour limite 1. Donner un algorithme calculant le plus petit entier p tel que up < 1,01.

Donner, dans un tableau, des valeurs approchées des variables à chaque étape de l’algorithme (on arrondira au millième).

conseils

Lorsque l’on recherche un seuil, une boucle « Tant que » est souvent appropriée. Il ne faut pas hésiter à faire fonctionner l’algorithme pas à pas.

solution

La suite u est définie explicitement en fonction de n, on a alors :

PB_Bac_05285_Math1_TT_p063-090_C03_Groupe_Schema_0