Il peut être intéressant d'étudier le comportement à long terme d'une suite. Les termes peuvent tendre vers un nombre, devenir extrêmement grands ou avoir un comportement chaotique…
I Limites finies et infinies
Une suite de terme général un admet pour limite +∞, si ses termes deviennent aussi grands que l'on veut à partir d'un certain rang. On note
Exemple : les suites de termes généraux n, n2 et ont pour limite +∞.
Une suite de terme général un admet pour limite un réel ℓ, si ses termes deviennent aussi proches que l'on veut de ℓ à partir d'un certain rang. On note
Exemple : les suites de termes généraux , et admettent pour limite 0.
II Algorithme
Le rang à partir duquel les termes d'une suite réalisent une des conditions précédentes peut être recherché à l'aide d'un algorithme. On parle alors de seuil à partir duquel la condition est réalisée.
Algorithme de seuil pour une suite de limite +∞ :
Suite un = f (n) | Suite un + 1 = f (un) |
U ← f (0) N ← 0 Tant que U A N ← N + 1 U ← f (N) | U ← u0 N ← 0 Tant que U A N ← N + 1 U ← f (U) |
À la fin de l'exécution de l'un ou l'autre de ces algorithmes, la variable N contient le premier rang à partir duquel un ⩾ A.
Algorithme de seuil pour une suite de limite ℓ :
Suite un = f (n) | Suite un + 1 = f (un) |
U ← f (0) N ← 0 Tant que U ℓ – E et U > ℓ + E N ← N + 1 U ← f (N) | U ← u0 N ← 0 Tant que U ℓ – E et U > ℓ + E N ← N + 1 U ← f (U) |
À noter
Sur les calculatrices, on utilise les commandes While et While End ou While et End.
À la fin de l'exécution de l'un ou l'autre de ces algorithmes, la variable N contient le premier rang à partir duquel ℓ – E ⩽ un ⩽ ℓ + E.
Méthodes
1 Conjecturer la limite d'une suite
On considère les suites de termes généraux et .
Que peut-on dire du comportement de ces suites pour de grandes valeurs de n ?
conseils
On peut, dans un premier temps, tenter de comparer ces suites à des suites dont la limite est connue. On peut utiliser ensuite un tableur pour conjecturer ce comportement.
solution
On a pour tout entier n > 0, un > n donc un est aussi grand que l'on veut à partir d'un certain rang : cette suite semble admettre pour limite +∞.
est aussi proche que l'on veut de zéro pour n suffisamment grand, donc
également : la suite (vn) semble admettre pour limite 3.
2 Utiliser un algorithme de seuil
On considère la suite de terme général .
On admet que la suite u est décroissante et admet pour limite 1. Donner un algorithme calculant le plus petit entier p tel que up 1,01.
Donner, dans un tableau, des valeurs approchées des variables à chaque étape de l'algorithme (on arrondira au millième).
conseils
Lorsque l'on recherche un seuil, une boucle « Tant que » est souvent appropriée. Il ne faut pas hésiter à faire fonctionner l'algorithme pas à pas.
solution
La suite u est définie explicitement en fonction de n, on a alors :
