Opérations sur les dérivées

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Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Dérivation

Sous certaines conditions, si l’on connaît les dérivées de deux fonctions, il est possible de déterminer celle de leur somme, de leur ­produit ou de leur quotient.

I Somme et produit de fonctions

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

À noter

Si u est une fonction constante égale à k, alors (kv) = kv .

La fonction somme u + v est dérivable sur I et sa fonction dérivée est :

u + v

La fonction produit uv est dérivable sur I et sa dérivée est :

uv + uv

II Inverse et quotient

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

On suppose que la fonction v ne s’annule pas sur IAlors, la fonction inverse de v est dérivable sur I et sa dérivée est :

vv2

On suppose que v ne s’annule pas sur I. La fonction quotient uv est dérivable sur I, et sa dérivée est :

uvuvv2

III Fonction de la forme x g (ax + b)

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction x g(ax + b) est dérivable pour tout x tel que ax + b I et a pour dérivée :

x ag(ax + b)

Exemple : La fonction k : x4x5 est définie si seulement si 4x – 5 ⩾ 0, soit  x54, et est dérivable pour x>54. La fonction k est de la forme x g(ax + b) avec g(x)=x et ax + b = 4x –5, on a donc :

k(x)=ag(ax+b)=4124x5=24x5.

Méthode

Déterminer une fonction dérivée

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes en précisant l’intervalle sur lequel ces fonctions sont dérivables.

a. f : x x2 + 3x

b. g: x(x+1)x

c. h: xx2+2x2x3

conseils

• Préciser l’intervalle sur lequel les fonctions sont dérivables.

• L’expression de chaque fonction vous indique si elle est une somme, un produit, un quotient de plusieurs autres fonctions.

• Selon les cas, utiliser la formule adéquate du cours donnant la dérivée, en consultant au besoin de tableau du mémo visuel.

solution

a. •On a f(x) = x2 + 3x, f est définie sur ℝ et dérivable sur ℝ.

f est une somme de deux fonctions u et v définies par u(x) = x2 et v(x) = 3x et telles que u(x) = 2x et v(x) = 3.

On a donc f  = u + v, soit pour tout x de ℝ, f(x) = 2x + 3.

b. •xx est définie sur [0 ; + ∞[et dérivable sur ]0 ; + ∞[. De plus x x + 1 est définie et dérivable sur ℝ donc g est dérivable sur ]0 ; + ∞[.

g est un produit de deux fonctions u et v définies par u(x) = x + 1 et v(x)=x telles que u(x) = 1 et  v(x)=12x.

On a donc g = uv + uv. Pour tout x de ]0 ; + ∞[ :

g(x)=x+(x+1)×12x .

c. •h(x) est définie si et seulement si 2x – 3 ≠ 0 soit  x32. h est donc dérivable sur ] ; 32[ et sur ]32;+[.

h est le quotient de deux fonctions u et v définies par u(x) = x2 + 2x et v(x) = 2x – 3 telles que u(x) = 2x + 2 et v(x) = 2.

On a donc h=uvuvv2. Soit pour tout réel x :

h(x)=(2x+2)(2x3)(x2+2x)×2(2x3)2=4x2+4x6x62x24x(2x3)2

c’est-à-dire h(x)=2x26x6(2x3)2.