Première générale Maths (spé) Dérivation

Sous certaines conditions, si l'on connaît les dérivées de deux fonctions, il est possible de déterminer celle de leur somme, de leur produit ou de leur quotient.

I Somme et produit de fonctions

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

À noter

Si u est une fonction constante égale à k, alors (kv)′ = kv ′.

La fonction somme u + v est dérivable sur I et sa fonction dérivée est :

u′ + v′

La fonction produit uv est dérivable sur I et sa dérivée est :

u′v + uv′

II Inverse et quotient

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

On suppose que la fonction v ne s'annule pas sur I. Alors, la fonction inverse de v est dérivable sur I et sa dérivée est :

$\frac{- v^{'}}{v^{2}}$

On suppose que v ne s'annule pas sur I. La fonction quotient $\frac{u}{v}$ est dérivable sur I, et sa dérivée est :

$\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

III Fonction de la forme x ↦ g (ax + b)

Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction x ↦ g(ax + b) est dérivable pour tout x tel que ax + b ∈ I et a pour dérivée :

x ↦ ag′(ax + b)

Exemple : La fonction $k : x \mapsto \sqrt{4 x - 5}$ est définie si seulement si 4x – 5 ⩾ 0, soit $x \geq \frac{5}{4}$ , et est dérivable pour $x > \frac{5}{4}$ . La fonction k est de la forme x ↦ g(ax + b) avec $g (x) = \sqrt{x}$ et ax + b = 4x –5, on a donc :

$k^{'} (x) = a g^{'} (a x + b) = 4 \frac{1}{2 \sqrt{4 x - 5}} = \frac{2}{\sqrt{4 x - 5}}$ .

Méthode

Déterminer une fonction dérivée

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes en précisant l'intervalle sur lequel ces fonctions sont dérivables.

a. f : x ↦ x2 + 3x

b. $g : x \mapsto (x + 1) \sqrt{x}$

c. $h : x \mapsto \frac{x^{2} + 2 x}{2 x - 3}$

conseils

• Préciser l'intervalle sur lequel les fonctions sont dérivables.

• L'expression de chaque fonction vous indique si elle est une somme, un produit ou un quotient de plusieurs autres fonctions.

• Selon les cas, utiliser la formule adéquate du cours donnant la dérivée, en consultant au besoin de tableau du mémo visuel.

solution

a. • On a f(x) = x2 + 3x, f est définie sur ℝ et dérivable sur ℝ.

• f est une somme de deux fonctions u et v définies par u(x) = x2 et v(x) = 3x et telles que u′(x) = 2x et v′(x) = 3.

• On a donc f ′ = u′ + v′, soit pour tout x de ℝ, f ′(x) = 2x + 3.

b. • $x \mapsto \sqrt{x}$ est définie sur [0 ; + ∞[et dérivable sur ]0 ; + ∞[. De plus x ↦ x + 1 est définie et dérivable sur ℝ donc g est dérivable sur ]0 ; + ∞[.

• g est un produit de deux fonctions u et v définies par u(x) = x + 1 et $v (x) = \sqrt{x}$ telles que u′(x) = 1 et $v^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

• On a donc g′ = u′v + uv′. Pour tout x de ]0 ; + ∞[ :

$g^{'} (x) = \sqrt{x} + (x + 1) \times \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

c. • h(x) est définie si et seulement si 2x – 3 ≠ 0 soit $x \neq \frac{3}{2}$ . h est donc dérivable sur $] - \infty; \frac{3}{2} [$ et sur $] \frac{3}{2}; + \infty [$ .

• h est le quotient de deux fonctions u et v définies par u(x) = x2 + 2x et v(x) = 2x – 3 telles que u′(x) = 2x + 2 et v′(x) = 2.

• On a donc $h^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ . Soit pour tout réel x :

$h^{'} (x) = \frac{(2 x + 2) (2 x - 3) - (x^{2} + 2 x) \times 2}{{(2 x - 3)}^{2}} = \frac{4 x^{2} + 4 x - 6 x - 6 - 2 x^{2} - 4 x}{{(2 x - 3)}^{2}}$

c'est-à-dire $h^{'} (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6}{{(2 x - 3)}^{2}}$ .

Opérations sur les dérivées

I Somme et produit de fonctions

II Inverse et quotient

III Fonction de la forme x ↦ g (ax + b)

Déterminer une fonction dérivée

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