Fiche de révision

Orthogonalité et produit scalaire

Contenu


Le produit scalaire permet de traduire analytiquement l'orthogonalité dans le plan, mais aussi dans l'espace.

I Droites orthogonales

Soit D une droite de vecteur directeur u0, et Δ une droite de vecteur directeur v0.

PΔu et v sont orthogonauxuv=0

06468_C03_01

II Droites et plans perpendiculaires

Un plan P de l'espace peut être défini par la donnée d'un point A et de deux vecteurs v et w non colinéaires et non nuls : ce plan est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM=t1v+t2w avec (t1 ; t2)2.

On dit que v et w sont des vecteurs directeurs du plan P.

À noter

Le couple v;w détermine la direction du plan P.

Soit D une droite de vecteur directeur u0, et P un plan de vecteurs directeurs non colinéaires v0 et w0.

D ⊥ Puv=0 et uw=0

06468_C03_02

À noter

Le vecteur u est alors un vecteur normal au plan P.

III Plans perpendiculaires

Soit P un plan de vecteur normal n0 et P′ un plan de vecteur normal n0.

P ⊥ Pn et northogonauxnn=0

06468_C03_03

Méthode

Démontrer l'orthogonalité à l'aide du produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; i, j, k), on considère le plan P passant par le point B(1 ; 2 ; 1) et de vecteur normal n(2 ; 1 ; 5), et le plan ℛ dont x+2y7=0 est une équation cartésienne.

a. Démontrer que les plans P et ℛ sont perpendiculaires.

b. Démontrer que l'intersection des plans P et ℛ est la droite passant par le point C(1 ; 4 ; 1) et de vecteur directeur u(2 ; 1 ; 1).

Conseils

a. Commencez par déterminer un vecteur normal au plan ℛ.

b. Vérifiez que C appartient à P et à ℛ, puis que u est orthogonal à un vecteur normal au plan P et à un vecteur normal au plan ℛ.

Solution

a. Le plan ℛ a pour équation cartésienne x+2y7=0, donc n(1 ; 2 ; 0) est un vecteur normal à ℛ. Or nn=2×1+1×2+5×0=0, donc les plans Pet sont perpendiculaires.

À noter

na;b;c est un vecteur normal au plan P d'équation ax+by+cz+d=0.

b. Des plans sécants et non confondus se coupent selon une droite. Notons Δ la droite d'intersection de P et ℛ.

1+2×47=0, donc les coordonnées de C vérifient une équation cartésienne du plan ℛ, ce qui prouve que C appartient à ℛ.

Déterminons une équation cartésienne du plan P. n(2 ; 1 ; 5) est un vecteur normal au plan P, donc P admet une équation cartésienne de la forme : 2x+y+5z+d=0 avec d.

Le point B(1 ; 2 ; 1) appartient à P donc : 2×12+5×1+d=1+d=0, soit d=1. Finalement, une équation cartésienne de P est 2x+y+5z1=0. Or, 2×(1)+4+5×(1)1=0, donc C appartient à P.

On en déduit que C appartient à Δ = P ℛ.

Le vecteur u(2 ; 1 ; 1) est orthogonal à n et à n. En effet :

nu=2×2+1×1+5×1=0 et nu=1×2+2×1+0×1=0. Donc le vecteur u est un vecteur directeur de la droite Δ.

Conclusion : L'intersection des plans P et ℛ est la droite Δ passant par le point C(1 ; 4 ; 1) et de vecteur directeur u(2 ; 1 ; 1).

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