Terminale générale Mathématiques Orthogonalité et distances dans l'espace

Le produit scalaire permet de traduire analytiquement l'orthogonalité dans le plan, mais aussi dans l'espace.

I Droites orthogonales

Soit $D$ une droite de vecteur directeur $\vec{u} \neq \vec{0},$ et $Δ$ une droite de vecteur directeur $\vec{v} \neq \vec{0}$ .

$\begin{array}{l} P ⊥ Δ \Leftrightarrow \vec{u} et \vec{v} sont orthogonaux \\ \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \end{array}$

II Droites et plans perpendiculaires

Un plan $P$ de l'espace peut être défini par la donnée d'un point $A$ et de deux vecteurs $\vec{v}$ et $\vec{w}$ non colinéaires et non nuls : ce plan est l'ensemble des points M de l'espace tels que $\vec{AM} = t_{1} \vec{v} + t_{2} \vec{w}$ avec $(t_{1}; t_{2}) \in ℝ^{2}$ .

On dit que $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont des vecteurs directeurs du plan $P$ .

À noter

Le couple $(\vec{v}; \vec{w})$ détermine la direction du plan $P$ .

Soit $D$ une droite de vecteur directeur $\vec{u} \neq \vec{0},$ et $P$ un plan de vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{v} \neq \vec{0}$ et $\vec{w} \neq \vec{0} .$

$D$ ⊥ $P$ $\Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ et $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$

À noter

Le vecteur $\vec{u}$ est alors un vecteur normal au plan $P$ .

III Plans perpendiculaires

Soit $P$ un plan de vecteur normal $\vec{n} \neq \vec{0}$ et $P$ ′ un plan de vecteur normal ${\vec{n}}^{'} \neq \vec{0} .$

$P$ ⊥ $P$ ′ $\Leftrightarrow \vec{n} et {\vec{n}}^{'} orthogonaux \Leftrightarrow \vec{n} \cdot {\vec{n}}^{'} = 0$

Méthode

Démontrer l'orthogonalité à l'aide du produit scalaire

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère le plan $P$ passant par le point $B (1; - 2; 1)$ et de vecteur normal $\vec{n} (- 2; 1; 5),$ et le plan ℛ dont $x + 2 y - 7 = 0$ est une équation cartésienne.

a. Démontrer que les plans $P$ et ℛ sont perpendiculaires.

b. Démontrer que l'intersection des plans $P$ et ℛ est la droite passant par le point $C (- 1; 4; - 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u} (2; - 1; 1)$ .

Conseils

a. Commencez par déterminer un vecteur normal au plan ℛ.

b. Vérifiez que C appartient à $P$ et à ℛ, puis que $\vec{u}$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $P$ et à un vecteur normal au plan ℛ.

Solution

a. Le plan ℛ a pour équation cartésienne $x + 2 y - 7 = 0,$ donc ${\vec{n}}^{'} (1; 2; 0)$ est un vecteur normal à ℛ. Or $\vec{n} \cdot {\vec{n}}^{'} = - 2 \times 1 + 1 \times 2 + 5 \times 0 = 0$ , donc les plans $P$ et ℛ sont perpendiculaires.

À noter

$\vec{n}$ $(a; b; c)$ est un vecteur normal au plan $P$ d'équation $a x + b y + c z + d = 0$ .

b. Des plans sécants et non confondus se coupent selon une droite. Notons $Δ$ la droite d'intersection de $P$ et ℛ.

$- 1 + 2 \times 4 - 7 = 0,$ donc les coordonnées de C vérifient une équation cartésienne du plan ℛ, ce qui prouve que C appartient à ℛ.

Déterminons une équation cartésienne du plan $P$ . $\vec{n} (- 2; 1; 5)$ est un vecteur normal au plan $P$ , donc $P$ admet une équation cartésienne de la forme : $- 2 x + y + 5 z + d = 0$ avec $d \in ℝ$ .

Le point $B (1; - 2; 1)$ appartient à $P$ donc : $- 2 \times 1 - 2 + 5 \times 1 + d = 1 + d = 0,$ soit $d = - 1$ . Finalement, une équation cartésienne de $P$ est $- 2 x + y + 5 z - 1 = 0 .$ Or, $- 2 \times (- 1) + 4 + 5 \times (- 1) - 1 = 0,$ donc C appartient à $P$ .

On en déduit que C appartient à Δ = $P$ $\cap$ ℛ.

Le vecteur $\vec{u} (2; - 1; 1)$ est orthogonal à $\vec{n}$ et à ${\vec{n}}^{'}$ . En effet :

$\vec{n} \cdot \vec{u} = - 2 \times 2 + 1 \times (- 1) + 5 \times 1 = 0$ et ${\vec{n}}^{'} \cdot \vec{u} = 1 \times 2 + 2 \times (- 1) + 0 \times 1 = 0 .$ Donc le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $Δ$ .

Conclusion : L'intersection des plans $P$ et ℛ est la droite $Δ$ passant par le point $C (- 1; 4; - 1)$ et de vecteur directeur $\vec{u} (2; - 1; 1)$ .

Orthogonalité et produit scalaire

I Droites orthogonales

II Droites et plans perpendiculaires

À noter

À noter

III Plans perpendiculaires

Méthode

Démontrer l'orthogonalité à l'aide du produit scalaire

Conseils

Solution

À noter

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