Parabole représentative d’une fonctionpolynôme de degré 2

Merci !

Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Géométrie repérée

Une parabole est le lieu des points équidistants d’un point donné et d’une droite donnée, ou encore l’intersection d’un cône de révolution et d’un plan parallèle à l’une de ses génératrices. C’est aussi la courbe représentative d’une fonction polynôme P de degré 2.

I Équation et parabole

Soit a, b et c trois réels avec a ≠ 0, P la fonction définie sur ℝ par P(x) = ax2 + bx + c. La courbe 𝒞 d’équation y = P(x) est une parabole.

La parabole est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

Elle admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=b2a.

Son sommet S a pour coordonnées (α ; β), avec α=b2a et β=P(b2a).

En notant Δ le discriminant de P (rappel : Δ = b2 – 4ac) :

– si Δ < 0, 𝒞 ne coupe pas l’axe des abscisses ;

– si Δ = 0, 𝒞 est tangente à l’axe des abscisses ;

– si Δ > 0, 𝒞 coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.

II Position de la courbe

Allure de 𝒞 selon le signe du discriminant Δ et du coefficient dominant a :

 

Δ < 0

Δ = 0

Δ > 0

a < 0

05285_chap09_fiche29i01

05285_chap09_fiche29i02

05285_chap09_fiche29i03

a > 0

05285_chap09_fiche29i04

05285_chap09_fiche29i05

05285_chap09_fiche29i06

Méthode

Reconnaître la parabole représentant une fonction polynôme du second degré donnée

Soit P la fonction définie sur ℝ par P(x) = 2x2 + x – 3.

On appelle 𝒞 la parabole représentant la fonction P, E le point d’intersection de 𝒞 avec l’axe des ordonnées et S le sommet de la parabole 𝒞. On admet que 𝒞 coupe l’axe des abscisses en deux points distincts A et B.

a. Reconnaître, parmi les trois courbes ci-dessous, la para­bole 𝒞.

b. Calculer les coordonnées exactes des points A, B, E et S.

05285_chap09_fiche29i0705285_chap09_fiche29i0805285_chap09_fiche29i09

Figure 1

Figure 2

Figure 3

conseils

On pose P(x) = ax2 + bx + c, donc a = 2, b = 1, c = –3.

a. Le signe de a donne « l’orientation » de 𝒞 (« vers le haut » ou « vers le bas »). L’ordonnée du point E est P(0). Les abscisses des points A et B sont les solutions de l’équation P(x) = 0, le calcul de leur produit permet de savoir si ces deux solutions sont de même signe ou de signes contraires.

b. Calculer le discriminant de P(x) et appliquer les formules.

solution

a. a > 0, donc 𝒞 est « tournée vers le haut », ce qui élimine la figure 2.

Le produit des deux solutions de l’équation P(x) = 0 est ca=32. Il est négatif, donc les deux solutions sont de signes contraires et les points A et B ont des abscisses de signes contraires ; la courbe 𝒞 est représentée sur la figure 3. On peut aussi remarquer que P(0) = –3, donc E a une ordonnée négative.

b. E a pour coordonnées (0 ; P(0)), c’est-à-dire (0 ; –3). S a pour coordonnées (b2a;P(b2a)), soit (14;–258). Le discriminant est Δ = 25, les solutions de l’équation P(x) = 0 sont 1 et 32, A et B ont pour coordonnées (32;0) et (1 ; 0).