Polynômes et racines n-ièmes de l'unité

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Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Applications des nombres complexes


Nous allons donner des propriétés des racines de polynômes de degré n, puis déterminer les solutions du polynôme Pz=zn1, qui sont les racines n-ièmes de l’unité.

I Racines de polynômes de degré n

On appelle polynôme de degré n1 à coefficients réels une fonction P définie sur (et à valeurs dans ) par :

Pz=anzn+an1zn1++a1z+a0 et an,an1,,a1,a0n+1.

Propriétés :

Soient a et P un polynôme de degré n.

P est la fonction nulle si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Le polynôme znan peut être factorisé par za.

Si P(a) = 0, le polynôme P peut être factorisé par za.

P, qui est un polynôme de degré n, admet au plus n racines.

II Racines n -ièmes de l’unité

Soit n tel que n2.

Une racine n-ième de l’unité est un nombre complexe vérifiant zn=1.

L’ensemble Un=z tel que zn=1 des racines n-ièmes de l’unité est :

Un=e2ikπn avec k0;1;2;;n1=1;e2iπn;e4iπn;;e2(n1)iπn.

Leur module est 1 et un de leurs arguments est 2kπn, donc leurs images sont les sommets d’un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle trigonométrique.

Exemples :

On a notamment :

U2=z tel que z2=1=1;1.

U3=e2ikπ3 avec k0;1;2=e0=1;e2iπ3=12+i32;e4iπ3=12i32

U4=z tel que z4=1=1;1;i;i.

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Méthodes

1 Déterminer les racines d’un polynôme de degré 4

Pour tout z, on pose Pz=z416z3+90z216z+89.

a. Montrer que, pour tout z, Pz=z2+1z216z+89.

b. En déduire les quatre solutions de l’équation Pz=0.

Conseils

a. Développez l’expression z2+1z216z+89, pour tout z.

b. Résolvez deux équations du second degré en remarquant notamment que z2+1=z2i2.

Solution

a. Pour tout z, z2+1z216z+89=z416z3+89z2+z216z+89=z416z3+90z216z+89=Pz.

b. Pz=0z2+1z216z+89=0z2+1=0 ou z216z+89=0z2i2=ziz+i=0 ou z216z+89=0

L’équation z216z+89=0 est une équation du second degré.

Δ=1624×1×89=256356=100=10i2car i2=1.

À noter

Δ < 0 donc les solutions de l’équation du second degré sont des nombres complexes conjugués.

On a z1=1610i2=85i et z2=16+10i2=8+5i.

Finalement, les solutions de l’équation Pz=0 sont S=i;i;85i;8+5i.

2 Déterminer les racines quatrièmes de l’unité

Montrer que U4=1;1;i;i.

Conseils

Factoriser l’expression z41 à l’aide d’une identité remarquable.

Solution

U4=z tel que z4=1. Soit z.

zU4z4=1z2212=0z21z2+1=0z1z+1z2i2=0 car i2=1z1z+1ziz+i=0z1;1;i;i.

On obtient bien U4=1;1;i;i.

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