Position relative de deux courbes

La position relative de deux courbes se résume à l'étude du signe de la différence des ordonnées de deux points de même ­abscisse de ­chacune des deux courbes. Cette étude permet, en ­économie, d'estimer un bénéfice.

I Définition

Étudier la position relative de deux courbes 1 et 2 revient à savoir sur quel intervalle 1 est au-dessus (respectivement en dessous) de 2.

Exemple : Sur le graphique ci-dessous, on voit que sur [–2 ; 2] l'ordonnée de M2 est supérieure à celle de M1 on peut donc en déduire que 1 est en dessous de 2.

Les fonctions f1 et f2 sont définies par f1(x) = x – 2 et f2(x) = –x2 + x + 2.

II Propriétés

Soit 1 et 2 les courbes représentatives de deux fonctions f1 et f2. On considère deux points M1 et M2 de même abscisse x appartenant respectivement à 1 et 2, leurs ordonnées respectives sont donc f1(x) et f2(x).

•  1 est au-dessus de 2 si et seulement si f1(x) ⩾ f2(x) ou encore f1(x) – f2(x) ⩾ 0.

•  1 est en dessous de 2 si et seulement si f1(x) ⩽ f2(x) ou encore f1(x) – f2(x) ⩽ 0.

•  1 et 2 se croisent si et seulement si f1(x) = f2(x).

Exemple : On peut retrouver le résultat obtenu graphiquement précédemment en faisant l'étude du signe de la différence f1(x) – f2(x).

On a alors : $f_1(x)–f_2(x)=x–2–(–x^2+x+2)=x^2–4=(x–2)(x+2)$.

On obtient un polynôme du second degré dont les racines sont –2 et 2. On en déduit que cette différence est négative entre les racines, c'est-à-dire sur [–2 ; 2] et positive à l'extérieur des racines, c'est-à-dire sur ]–∞ ; –2[ et ]2 ; +∞[.

1 est donc en dessous de 2 sur [–2 ; 2] et au-dessus sur ]–∞ ; –2[ et ]2 ; +∞[.

Méthode

Étudier la position relative de deux courbes

conseils

Étape 1. Pour comparer les ordonnées de deux points de même abscisse x, l'un appartenant à f et l'autre à g, on calcule f(x) – g(x).

Étape 2. On étudie le signe de cette différence.

Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par :

f(x) = –2x2 – x + 5 et g(x) = –x + 1.

On appelle f et g leurs courbes représentatives.

Étudier la position relative de ces deux courbes sur ℝ.

solution

Étape 1. Déterminons la différence :

f(x) – g(x) = (–2x2 – x + 5) – (–x + 1)

= –2x2 – x + 5 + x – 1

= –2x2 + 4.

Étape 2. Étudions alors le signe de f(x) – g(x) = –2x2 + 4.

Les racines de l'équation du second degré –2x2 + 4 = 0 sont $x=\sqrt{2}$ et $x=–\sqrt{2}$.

Donc –2x2 + 4 est positif sur $[–\sqrt{2};\sqrt{2}]$ et négatif sur $]–\infty ;–\sqrt{2}[\cup ]\sqrt{2};+\infty [$. Ainsi :

– si $x\in [–\sqrt{2};\sqrt{2}]$, f(x) ⩾ g(x) et la courbe représentant f est située ­au-­dessus de celle représentant g ;

– si $x\in ]–\infty ;–\sqrt{2}[\cup ]\sqrt{2};+\infty [$, f(x) ⩽ g(x) et la courbe représentant f est située en dessous de celle représentant g.