Terminale générale Mathématiques Vecteurs, droites et plans de l'espace

Lorsqu'une droite et un plan de l'espace ne sont pas parallèles, ils sont sécants, éventuellement perpendiculaires. Ces différentes positions relatives font l'objet de plusieurs propriétés.

I Étude des positions relatives d'une droite et d'un plan

Dans l'espace, une droite et un plan sont soit parallèles, soit sécants.

Tableau de 4 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : D parallèle à P; D et P sécants; Ligne 2 : strictement parallèles; D ⊂ P; Ligne 3 : ; ; ; Ligne 4 : Aucun point commun; Points communs : D; Un unique point commun;

II Propriétés des droites et des plans de l'espace

1 Droite parallèle à un plan

Si deux points distincts appartiennent à un plan, alors la droite qui passe par ces deux points est incluse dans ce plan.

Si deux droites sont parallèles, alors l'une est parallèle à tout plan contenant l'autre.

Si une droite est parallèle à une droite d'un plan, alors elle est parallèle à ce plan.

2 Droite perpendiculaire à un plan

Pour qu'une droite $D$ et un plan $P$ soient perpendiculaires, il suffit que $D$ soit orthogonale à deux droites sécantes de $P$ .

Si une droite $D$ et un plan $P$ sont perpendiculaires, alors $D$ est orthogonale à toutes les droites de $P$ .

Méthode

Étudier la position relative d'une droite et d'un plan

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Déterminer la position relative :

a. de la droite $(CG)$ et du plan $(ABD)$ .

b. de la droite $(HF)$ et du plan $(CAD)$ .

c. de la droite $(HF)$ et du plan $(DEG)$ .

d. de la droite $(EH)$ et du plan $(ADF)$ .

e. de la droite $(AB)$ et du plan $(DEG)$ .

f. de la droite $(HF)$ et du plan $(ACG)$ .

Conseils

Observez la figure et utilisez les positions relatives des arêtes et des faces du cube pour répondre par le terme le plus précis possible.

Pour chaque question, vous pouvez commencer par expliciter le plan qui est déterminé par trois points, en fonction, par exemple, des faces du cube.

Solution

a. La droite $(CG)$ est perpendiculaire au plan $(ABD)$ , c'est-à-dire $(ABCD)$ .

Mot clé

Dans l'espace, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.

b. La droite $(HF)$ est strictement parallèle au plan $(CAD)$ .

En effet : (HF) // (DB) et (DB) appartient au plan (CAD) ; donc d'après la propriété rappelée dans le cours, (HF) est parallèle au plan (CAD).

c. La droite $(HF)$ et le plan $(DEG)$ sont sécants mais ne sont pas perpendiculaires car (HF) n'est pas orthogonale à (DE).

d. (EH) // (GF) et (GF) appartient au plan (ADF), donc la droite (EH) est parallèle au plan (ADF).

e. (AB) // (EF) et (EF) coupe le plan (DEG) en E, donc la droite (AB) et le plan (DEG) sont sécants.

En effet, raisonnons par l'absurde : si la droite (AB) et le plan (DEG) n'étaient pas sécants, ils seraient strictement parallèles, puis la droite (EF) et plan (DEG) aussi. Ce qui n'est pas le cas.

f. La droite (HF) est perpendiculaire, donc orthogonale, à la droite (EG) car EFGH est un carré. De plus, (HF) est perpendiculaire à la droite (BF), qui est elle-même parallèle à la droite (CG), donc les droites (HF) et (CG) sont orthogonales.

Ainsi, la droite (HF) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ACG), donc elle est perpendiculaire à ce plan.

Positions relatives d'une droite et d'un plan de l'espace