Positions relatives de deux droites

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Représenter et caractériser les droites du plan

Pour montrer que deux droites sont parallèles, on peut utiliser la réciproque du théorème de Thalès ou le fait qu’elles soient perpendiculaires à une même troisième droite… Désormais on pourra également montrer ce parallélisme par le calcul.

I Parallélisme

1 Cas général

On considère deux droites d et d dont les équations cartésiennes respectives sont ux + vy + w = 0 et ux + vy + w = 0.

Les droites d et d sont parallèles si et seulement si uv uv = 0.

Preuve. Les vecteurs a(v;u) et b(v;u) sont des vecteurs directeurs de d et d. Les droites d et d sont donc parallèles si et seulement si ces deux vecteurs sont colinéaires, autrement dit, si et seulement si leur déterminant est égal à 0. Or le déterminant de ces deux vecteurs est précisément (– v)u – u(– v) = – vu + uv.

2 Cas des équations réduites

Théorème. Deux droites d’équations respectives y = mx + p et y = mx + p sont parallèles si et seulement si m = m.

Preuve. L’équation de d s’écrit aussi mx y + p = 0, donc le vecteur u(1;m) est un vecteur directeur de d, de même, u(1;m) est un vecteur directeur de d. Donc ces deux droites sont parallèles si et seulement si 1 × m – 1 × m = 0, soit m m = 0.

Remarque : On en déduit que deux droites d’équations respectives y = mx + p et y = mx + p sont sécantes si et seulement si m  m.

II Condition d’alignement de trois points

Théorème. Trois points distincts A, B, C sont alignés si et seulement si les droites (AB) et (AC) ont la même pente ou s’ils ont tous trois la même abscisse.

Preuve. Si les points A, B et C sont alignés, alors les droites (AB) et (AC) sont confondues, donc elles ont le même coefficient directeur, ou les points ont la même abscisse.

Réciproquement :

 Supposons que les droites (AB) et (AC) aient le même coefficient directeur. Alors ces deux droites sont parallèles d’après le théorème précédent. Comme elles ont le point A en commun, elles sont confondues, ce qui prouve que les points A, B et C sont alignés.

 Si les trois points ont la même abscisse, alors ils sont alignés sur une droite verticale.

Méthode

Déterminer le point d’intersection de deux droites

a. Démontrer que les droites d et d′ d’équations respectives : y = 3x – 1 et y = –2x + 4 sont sécantes.

b. Calculer les coordonnées de leur point d’intersection M.

c. Tracer les deux droites dans un repère.

d. Résoudre graphiquement le système {3xy=12x+y=4.

conseils

a. Considérez les coefficients directeurs des deux droites.

b. Exprimez le fait que les coordonnées de M satisfont les deux équations.

c. Choisissez deux points pour chacune des droites.

d. Utilisez les équations des deux droites précédentes.

solution

a. La droite d a pour coefficient directeur 3 et la droite d′ a pour coefficient directeur – 2. Ces deux coefficients sont distincts. Donc les deux droites sont sécantes.

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b. Les coordonnées (x ; y) de M vérifient chacune des deux équations. Donc on a simultanément y = 3x – 1 et y = –2x + 4. On en déduit que : 3x – 1 = –2x + 4, soit 5x = 5 et x = 1. L’abscisse du point M est donc égale à 1.

Pour trouver son ordonnée, on choisit l’une des deux équations. On trouve y = 3 × 1 – 1 = 2 avec l’équation de d. Le point M a donc pour coordonnées (1 ; 2).

À noter

On trouve évidemment aussi y = –2 × 1 + 4 = 2 avec l’équation de d′.

c. Pour tracer d, on choisit les points A(0 ; –1) et M(1 ; 2). Pour tracer d′, on choisit B(0 ; 4) et M(1 ; 2).

d. Le système {3xy=12x+y=4 est équivalent au ­système {y=3x1y=2x+4.

À noter

Un système de deux équations à deux inconnues peut se résoudre graphiquement ou par le calcul.

Graphiquement, les solutions du système sont les coordonnées du point d’intersection des droites y = 3x – 1 et y = –2x + 4. On a vu que ce sont les coordonnées du point M. En conclusion, on peut dire que le système a un couple solution unique qui est x = 1 et y = 2.

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