Positions relatives de deux droites de l’espace

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Fiches
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Vecteurs, droites et plans de l’espace


Dans l’espace, deux droites ne sont pas nécessairement coplanaires. Il en résulte une nouvelle classification des positions relatives de deux droites de l’espace.

I Étude des positions relatives de deux droites

1 Droites coplanaires

Si deux droites D et Δ de l’espace sont coplanaires, alors elles sont soit sécantes soit parallèles.

Tableau de 3 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : D et Δ parallèles; D et Δ sécantes; Ligne 2 : strictement parallèles; confondues; Ligne 3 : Aucun point commun; D = Δ; Un unique point commun;

2 Droites non coplanaires

Si deux droites D et Δ ne sont pas coplanaires, aucun plan ne les contient toutes les deux et elles n’ont aucun point d’intersection.

Deux droites de l’espace sont orthogonales lorsque les parallèles à ces droites passant par un point donné sont perpendiculaires (dans le plan qu’elles forment).

Mot clé

Dans l’espace, deux droites sont perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes. Attention à bien faire la différence avec l’orthogonalité.

II Propriétés des droites de l’espace

Si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre, et toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

Si deux droites sont orthogonales, alors toute droite parallèle à l’une est orthogonale à l’autre. Mais, toute droite orthogonale à l’une n’est pas forcément parallèle à l’autre.

Deux droites perpendiculaires à un même plan sont parallèles.

Méthode

Étudier la position relative de deux droites dans un cube

Dans le cube ABCDEFGH représenté ci-contre :

– le point I est le milieu du segment [AB] ;

– le point J est le milieu du segment [GH].

Donner la position relative des droites :

a. (IJ) et (BG)

b. (AD) et (CG)

c. (AD) et (DH)

d. (FG) et (IJ)

e. (IF) et (AB)

f. (AB) et (IJ)

g. (EF) et (IJ)

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Conseils

Utilisez le fait que ABCDEFGH est un cube et les propriétés des faces et des arêtes d’un cube.

Solution

a. Les droites (IJ) et (BG) sont parallèles dans le plan ABG qui est aussi le plan ABGH.

b. Les droites (AD) et (CG) sont orthogonales.

En effet : (AD) // BC et BC et (CG) sont perpendiculaires en C car BCGF est un carré.

À noter

Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale (donc en particulier perpendiculaire) à l’une est orthogonale à l’autre.

c. Les droites (AD) et (DH) sont perpendiculaires en D, car la face ADHE du cube est un carré.

d. Les droites (FG) et (IJ) sont non coplanaires car aucun plan ne les contient toutes les deux.

e. Les droites (IF) et (AB) sont sécantes.

En effet, elles sont coplanaires (plan ABF) et se coupent en I.

f. Les droites (AB) et (IJ) sont perpendiculaires car elles sont sécantes en I et orthogonales.

En effet : (IJ) // BG, et AB et BG sont perpendiculaires car le quadrilatère ABGH est un rectangle.

g. Les droites (EF) et (IJ) sont orthogonales.

En effet : AB // EF, et (AB) et (IJ) sont perpendiculaires (d’après la question f.).