Terminale générale Mathématiques Vecteurs, droites et plans de l'espace

Lorsque deux plans de l'espace ne sont pas parallèles, ils sont sécants, éventuellement perpendiculaires. Ces différentes positions relatives font l'objet de plusieurs propriétés.

I Étude des positions relatives de deux plans de l'espace

Dans l'espace, deux plans sont soit parallèles, soit sécants.

Tableau de 4 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : P et Q parallèles; P et Q sécants; Ligne 2 : strictement parallèles; confondus ; Ligne 3 : ; ; ; Ligne 4 : Aucun point commun; P = Q; Une droite d'intersection;

II Propriétés des plans de l'espace

1 Plans parallèles

Si deux plans sont parallèles, alors tout plan parallèle à l'un est parallèle à l'autre.

Si deux plans $P$ ₁et $P$ ₂ sont perpendiculaires à une même droite $D$ , alors les deux plans $P$ ₁et $P$ ₂sont parallèles.

Soit $D$ ₁ et $D$ ₂deux droites parallèles. Si un plan $P$ ₁est perpendiculaire à $D$ ₁ et un plan $P$ ₂ estperpendiculaire à $D$ ₂, alors $P$ ₁et $P$ ₂sont parallèles.

2 Plans perpendiculaires

Si deux plans sont perpendiculaires :

tout plan parallèle à l'un est perpendiculaire à l'autre ;

tout plan perpendiculaire à l'un est parallèle à l'autre.

Soit $D$ ₁ et $D$ ₂deux droites orthogonales. Si un plan $P$ ₁ est perpendiculaire à $D$ ₁ et un plan $P$ ₂ est perpendiculaire à $D$ ₂, alors les plans $P$ ₁ et $P$ ₂ sont perpendiculaires.

Méthode

Étudier la position relative de deux plans de l'espace

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Déterminer la position relative des plans donnés. Lorsque deux plans sont sécants, préciser leur intersection.

a. Les plans $(DEG)$ et $(GBE)$ .

b. Les plans $(DCG)$ et $(HGD)$ .

c. Les plans $(DCG)$ et $(AFE)$ .

d. Les plans $(EFG)$ et $(GFB)$ .

e. Les plans $(DEG)$ et $(DCG)$ .

f. Les plans $(AEG)$ et $(DCG)$ .

g. Les plans $(EHG)$ et $(BCG)$ .

Conseils

Répondez en employant le terme le plus précis possible.

Pour chaque question, vous pouvez commencer par expliciter le plan qui est déterminé par trois points, en fonction, par exemple, des faces du cube.

Solution

a. Les plans $(DEG)$ et $(GBE)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(EG)$ . En effet, les points E et G appartiennent à chacun des deux plans donc la droite (EG) appartient à ces deux plans.

À noter

L'intersection deux plans sécants (et non parallèles) est une droite.

b. Les plans $(DCG)$ et $(HGD)$ sont confondus.

c. Les plans $(DCG)$ et $(AFE)$ sont strictement parallèles, car les faces opposées d'un cube sont parallèles.

d. Les plans $(EFG)$ et $(GFB)$ sont perpendiculaires.

En effet, les faces d'un cube qui ont une arête commune sont perpendiculaires car toutes les faces d'un cube sont des carrés.

e. Les plans $(DEG)$ et $(DCG)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(DG)$ . En effet, les points D et G appartiennent à chacun des deux plans donc la droite (DG) appartient à ces deux plans.

f. Les plans $(AEG)$ et $(DCG)$ sont sécants et leur intersection est la droite $(CG)$ . En effet, les points C et G appartiennent à chacun des deux plans donc la droite (CG) appartient à ces deux plans.

g. Les plans $(EHG)$ et $(BCG)$ sont perpendiculaires.

Positions relatives de deux plans de l'espace