Prendre une décision à partir d’un échantillon

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Statistiques. Echantillonnage


Rappels de cours

Soit n un entier naturel non nul et p un réel dans [0 ; 1].

1 Intervalle de fluctuation

 Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétition(s) indépendante(s) de la même expérience aléatoire.

 Soit une population pour laquelle on connaît ou on émet une hypothèse sur la proportion p d’un caractère.

Si 0,2p0,8, l’intervalle I de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence d’individus ayant le caractère considéré dans un échantillon de taille n (n25) est l’intervalle centré autour de la proportion p défini par :

I=[p1n;p+1n]

2 Prise de décision à partir d’un échantillon

Dans une population, on s’intéresse à un caractère dont on suppose que la proportion est égale à p. La prise de décision consiste à valider ou non, à partir d’un échantillon, l’hypothèse faite sur cette proportion. Pour ce faire :

on prélève au hasard n individus dans cette population (soit avec remise, soit sans remise mais dans ce cas n ne doit pas dépasser 10 % de la taille de la population) ;

on calcule la fréquence observée f du caractère dans cet échantillon ;

on détermine I l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ;

on applique la règle de décision suivante :

– si la fréquence observée f appartient à I, on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion est p dans la population n’est pas remise en question et on ne la rejette pas,

– sinon, on rejette l’hypothèse selon laquelle cette proportion vaut p avec un risque proche de 5 % de se tromper.

Méthodes

Déterminer un intervalle de fluctuation

Le responsable d’un club d’astronomie souhaiterait installer un site d’observation sur les hauteurs d’une ville de 2 500 habitants. Mais la pollution lumineuse due à l’éclairage public nuit à la qualité des observations. Il fait l’hypothèse que 70 % de la population de cette ville serait favorable à la coupure de l’éclairage nocturne. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la fréquence des habitants favorables à la coupure de l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, dans un échantillon de taille 100.

Conseils

Vérifiez les conditions d’utilisation de l’intervalle de fluctuation.

 

Solution

Nous avons n=10025 et p=0,7 (0,2p0,8) donc l’intervalle de fluctuation demandé est défini et donné par :

I=[p1n;p+1n]=[0,71100;0,7+1100]=[0,6;0,8].

Prendre une décision à partir d’un échantillon

On reprend la situation ci-dessus. Pour tenter de convaincre la mairie de couper l’éclairage nocturne pendant les nuits d’observation, le responsable du club réalise un sondage aléatoire auprès de 100 habitants. Il obtient 64 avis favorables à la coupure de l’éclairage nocturne. Le résultat de ce sondage remet-il en cause son hypothèse ?

Conseils

Calculez la fréquence d’habitants favorables à la coupure de l’éclairage nocturne dans l’échantillon et utilisez l’intervalle de fluctuation précédemment déterminé pour appliquer la règle de décision.

 

Solution

La fréquence d’habitants favorables à la coupure de l’éclairage nocturne dans l’échantillon est f=64100=0,64. Puisque la fréquence observée f=0,64 appartient à l’intervalle de fluctuation I (0,60,640,8), le résultat de ce sondage ne peut remettre en question l’hypothèse faite par le responsable du club.