Tle STI2D Mathématiques Calcul différentiel et intégral

A Ensemble des primitives d'une fonction dérivable sur un intervalle

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsqu'elle est dérivable sur I et que F′ = f.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit F une primitive de f.

Toutes les primitives de f sont les fonctions définies sur I par x ↦ F(x) + C, où C est une constante réelle.

EXEMPLE

Soit f une fonction définie sur ℝ par f(x) = 3x² – 2.

Une primitive de f est définie sur ℝ par g(x) = x³ – 2x.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :

F(x) = x³ – 2x + C où C est une constante réelle quelconque.

Vérifier que, pour tout x de ℝ, $g^{'} (x) = f (x)$

B Primitives des fonctions usuelles

F donne la forme générale des primitives sur un intervalle I de la fonction f. C est une constante réelle quelconque.

Tableau de 11 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 11 lignes ;Ligne 1 : f(x); F(x); Intervalle de validité; Ligne 2 : 1 f(x) = a; F(x) = ax + C; ℝ; Ligne 3 : 2 f(x) = x; F(x) = 12 x2 + C; ℝ; Ligne 4 : 3 f(x) = xnn entier non nul positif ou négatif (n ≠ – 1); F(x) = 1n+1 xn+1 + C; • si n > 0, ℝ• si n < 0, ]– ∞, 0[ ou ]0, + ∞[; Ligne 5 : 4 f(x) = 1x2; F(x) = −1x + C; ]– ∞, 0[ ou ]0, + ∞[; Ligne 6 : 5 f(x) = cos x; F(x) = sin x + C; ℝ; Ligne 7 : 6 f(x) = sin x; F(x) = – cos x + C; ℝ; Ligne 8 : 7 f(t) = sin (ωt + ϕ); F(t) = − 1ω cos (ωt + ϕ) + C; ℝ; Ligne 9 : 8 f(t) = cos (ωt + ϕ); F(t) = 1ω sin (ωt + ϕ) + C; ℝ; Ligne 10 : 9 f(t) = ex; f(t) = ex + C; ℝ; Ligne 11 : 10 f(x) = 1x; F(x) = ln x + C; ]0, + ∞[;

C Primitives d'une somme de fonctions, d'un produit d'une fonction par un nombre réel

Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.

Si F est une primitive de f sur un intervalle I, et si a est un nombre réel, alors aF est une primitive de af sur I.

EXEMPLES

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = –3t + 2.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :

$F (t) = - 3 (\frac{1}{2} t^{2}) + 2 t + C$ , $F (t) = - \frac{3}{2} t^{2} + 2 t + C$ , où C est une constante réelle quelconque.

• La variable est t.

• On utilise , , et .

2. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = –2x² + 4x + 5.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :

$F (x) = - 2 (\frac{1}{3} x^{3}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + 5 x + C, F (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + C,$

où C est une constante réelle quelconque.

On utilise , et .

3. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 2 sin 3x – cos 4x.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par : $f (x) = 2 (- \frac{1}{3} \cos 3 x) - (\frac{1}{4} \sin 4 x) + C$ , où C est une constante réelle quelconque ; $f (x) = - \frac{2}{3} \cos 3 x - \frac{1}{4} \sin 4 x + C$ .

On utilise , et .

remarque

Lorsqu'on dispose d'une calculatrice équipée d'un logiciel de calcul formel, on peut vérifier les calculs de primitives et de dérivées.

D Primitives de fonctions composées

Dans les formules suivantes, u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et C une constante réelle quelconque.

Tableau de 6 lignes, 2 colonnes ;Corps du tableau de 6 lignes ;Ligne 1 : f est définie sur I par :; Les primitives F de f sont définies sur I par :; Ligne 2 : 13 f(x) = u'(x)[u(x)]nn ∈ ℤ – {– 1}; F(x) = 1n+1 [u(x)]n+1 + C; Ligne 3 : Cas particulier : n = – 2 :14 f(x)=u'(x)[u(x)]2; F(x) = − 1u(x) + C; Ligne 4 : 15 fx=u′xuxoù u(x) est strictement positif sur I.; Fx=ln ux+C; Ligne 5 : 16 fx=u′xeux; Fx=eux+C; Ligne 6 : 17 Conséquencefx=ekxoù k est constante réelle quelconque non nulle; Fx=1kekx+C;

EXEMPLES

1. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = 4 (4x + 1)².

f(x) est de la forme u′(x)[u(x)]n, avec u(x) = 4x + 1, donc u′(x) = 4 et n = 2.

Toutes les primitives de f sont définies sur ℝ par :

$F (x) = \frac{1}{2 + 1} {(4 x + 1)}^{2 + 1} + C$ ; $G (x) = \frac{1}{3} {(4 x + 1)}^{3} + C$ ,

où C est une constante réelle quelconque.

2. Soit g la fonction définie sur ℝ par : $g (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

On utilise .

g(x) ressemble à $\frac{u^{'} (x)}{{[u (x)]}^{2}}$ . On pose alors u(x) = x² + 1, donc u′(x) = 2x.

On peut transformer l'écriture de g(x) : $g (x) = \frac{1}{2} [\frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

Toutes les primitives de g sont donc définies sur ℝ par : $G (x) = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x^{2} + 1}) + C$ , où C est une constante réelle quelconque ;

$G (x) = - \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} + C$ , où C est une constante réelle quelconque.

3. Soit h la fonction définie sur ]– 3, + ∞[ par $f (x) = \frac{1}{x + 3}$ .

Dans le crochet de la page précédente on fait apparaître « exactement » $\frac{u^{'} (x)}{{[u (x)]}^{2}}$ . On utilise .

En posant u(x) = x + 3, nous avons u′(x) = 1, et $h (x) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)}$ . Pour tout x de ]– 3, + ∞[, u(x) > 0.

Les primitives de f sur ]– 3, + ∞[ sont donc définies par H(x) = ln (x + 3) + C où C est une constante réelle. (On utilise ).

4. Déterminons les primitives de la fonction i définie sur ℝ par i(x) = e³x.

i « ressemble à » u′eu avec u(x) = 3x et u′(x) = 3.

Nous sommes donc conduits à écrire : $i (x) = \frac{1}{3} (3 e^{3 x})$ .

Les primitives de f sont donc définies sur ℝ par $I (x) = \frac{1}{3} e^{3 x} + C$ où C est une constante réelle quelconque.

Primitives d'une fonction dérivable sur un intervalle

A Ensemble des primitives d'une fonction dérivable sur un intervalle

EXEMPLE

B Primitives des fonctions usuelles

C Primitives d'une somme de fonctions, d'un produit d'une fonction par un nombre réel

EXEMPLES

remarque

D Primitives de fonctions composées

EXEMPLES

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