Probabilité associée à la répétition d'épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli

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Classe(s) : 1re ST2S - 1re STI2D - 1re STL - 1re STMG | Thème(s) : Épreuves de Bernoulli, variables aléatoires

A Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre p (nombre réel compris entre 0 et 1) est une épreuve aléatoire comportant deux issues :

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Le paramètre p est la probabilité de l’évènement « succès », 1 – p la probabilité de l’évènement « échec ».

EXEMPLE

Une urne contient dix boules indissociables au toucher : sept rouges et trois vertes. On prélève au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur. Toutes les boules ont la même probabilité d’être prélevées.

Le tirage d’une boule de l’urne est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,7, si on appelle « succès » obtenir une boule rouge. Si on appelle « succès » obtenir une boule verte, p = 0,3.

B Répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli

On considère une épreuve aléatoire consistant à répéter n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

EXEMPLE

On reprend l’exemple du paragraphe A.

On note R l’événement : « la boule prélevée est rouge » ; on note V l’événement : « la boule prélevée est verte ». On remet la boule prélevée dans l’urne et on recommence l’expérience une seconde fois. Un résultat possible est noté par un couple, par exemple (R, R), la première boule est rouge et la seconde est rouge.

Il s’agit de la répétition de deux épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

On peut construire l’arbre pondéré ci-dessous.

Tableau de 2 lignes, 3 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : 1er tirage; 2e tirage; Issue ou résultat; Ligne 2 : ;

On admet la propriété suivante.

Propriété

Dans un arbre des probabilités associé à une répétition d’épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli, la probabilité d’obtenir un résultat est égale au produit des probabilités figurant sur le chemin conduisant à ce résultat.

On a donc : P(R,R) = 0,7 × 0,7 = 0,49 ; P(R,V) = 0,7 × 0,3 = 0,21 ; P(V,R) = 0,3 × 0,7 = 0,21 ; P(V,V) = 0,3 × 0,3 = 0,09.