Première générale Maths (tronc commun) Statistiques et probabilités

La probabilité conditionnelle est définie par analogie avec la fréquence conditionnelle vue au chapitre précédent. Elle permet d’étudier l’influence de la réalisation d’un événement sur celle d’un autre.

IRappels

L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble des issues de cette expérience, c’est-à-dire l’ensemble des résultats possibles.

Si A et B sont deux événements d’une même expérience aléatoire, alors :

$\bar{A}$ (« A barre ») est l’événement contraire de A, c’est-à-dire l’ensemble de toutes les issues qui n’appartiennent pas à A ;

$A \cap B$ (« A inter B ») est l’intersection des événements A et B, c’est-à-dire l’ensemble des issues qui appartiennent à la fois à A et à B ;

$A \cup B$ (« A union B ») est la réunion des événements A et B, c’est-à-dire l’ensemble des issues qui appartiennent à A ou à B (ou aux deux).

Si on note $P (E)$ la probabilité d’un événement E, on a :

$P (A) + P (\bar{A}) = 1$ ; $P (A \cup B) + P (A \cap B) = P (A) + P (B)$ .

IIProbabilité conditionnelle

Définition et notation

A et B sont deux événements ; on suppose $P (B) \neq 0$ . La probabilité conditionnelle de A sachant B (ou « sachant que B est réalisé »), notée $P_{B} (A)$ , est définie par :

$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$

Conséquences immédiates

$P (A \cap B) = P (B) \times P_{B} (A)$ et $P_{B} (\bar{A}) = 1 - P_{B} (A)$ .

Calculer une probabilité conditionnelle avec un tableau croisé d’effectifs

Dans le cas d’un tirage aléatoire dans une population finie, la fréquence peut être identifiée à une probabilité. Les probabilités conditionnelles peuvent être calculées comme les fréquences conditionnelles.

Calculer une probabilité conditionnelle avec un arbre de probabilités

Sur les branches de premier niveau figurent des probabilités simples, sur les branches de second niveau des probabilités conditionnelles.

Méthodes

1 Calculer des probabilités conditionnelles à partir d’un tableau croisé

Le tableau ci-dessous donne la répartition des ventes de voitures chez un concessionnaire en 2020. On choisit un client au hasard. On considère les événements E : « le client a acheté une voiture roulant à l’essence » ; N : « le client a acheté une voiture neuve ». Calculer et interpréter les probabilités $P_{E} (N)$ et $P_{N} (E)$ .

	Essence	Hybride
Neuf	366	300
Occasion	354	30

Conseils

Commencez par calculer le nombre de voitures neuves, le nombre de voitures roulant à l’essence et le nombre total de voitures vendues.

Solution

D’après le tableau, en 2020 le concessionnaire a vendu 666 voitures neuves, 720 voitures roulant à l’essence, 1 050 voitures au total. On en déduit :

$P (N) = \frac{666}{1 050} = \frac{111}{175}; P (E) = \frac{720}{1 050} = \frac{24}{35}; P (E \cap N) = \frac{366}{1 050} = \frac{61}{175}$ .

D’où : $P_{E} (N) = \frac{P (E \cap N)}{P (E)} = \frac{61}{120} \approx 0,51$ ; $P_{N} (E) = \frac{P (E \cap N)}{P (N)} = \frac{61}{111} \approx 0,55$ .

Sachant que la voiture roule à l’essence, la probabilité qu’elle ait été achetée neuve est environ 0,51 ; sachant que la voiture a été achetée neuve, la probabilité qu’elle roule à l’essence est environ 0,55.

2 Traduire une situation par un arbre pondéré

Un producteur de fleurs cultive des tulipes et des narcisses dans deux serres A et B. Au printemps 2020, 72 % des fleurs produites étaient des tulipes ; 65 % des tulipes provenaient de la serre B ; 20 % des narcisses provenaient de la serre A.

On choisit une fleur au hasard dans la production. On considère les événements T : « la fleur est une tulipe » et A : « la fleur provient de la serre A ».

a. Donner $P_{T} (A)$ et construire un arbre pondéré résumant la situation.

b. Quelle est la probabilité que la fleur soit une tulipe provenant de la serre A ?

Conseils

L’énoncé donne $P_{T} (\bar{A})$ , et on sait que $P_{T} (A) = 1 - P_{T} (\bar{A})$ .

Solution

a. 65 % des tulipes provenaient de la serre B, donc $P_{T} (\bar{A}) = 0,65$ , donc $P_{T} (A) = 0,35$ (voir ci-dessus).

b. La probabilité que la fleur soit une tulipe de la serre A est $P (T \cap A) = P (T) \times P_{T} (A) = 0,72 \times 0,35 = 0,252$ .

Probabilité conditionnelle

IRappels

IIProbabilité conditionnelle

Méthodes

1 Calculer des probabilités conditionnelles à partir d’un tableau croisé

Conseils

Solution

2 Traduire une situation par un arbre pondéré

Conseils

Solution

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