Probabilités

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Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Probabilités

Probabilités

1Vocabulaire des probabilités

Dans une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles.

Un événement est une partie de l’univers.

Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.

Deux événements A, B sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A BØ.

L’événement contraire d’un événement A est l’événement A¯ constitué des éléments de Ω n’appartenant pas à A.

Exemples

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.

• L’univers est l’ensemble des 32 cartes.

• Il y a 32 événements élémentaires possibles.

• « La carte tirée est un valet » est un événement (qui n’est pas élémentaire) que nous pouvons noter A.

• « La carte tirée est un cœur » est un événement (qui n’est pas élémentaire) que nous pouvons noter B.

AB désigne l’événement : « La carte tirée est un valet et la carte tirée est un cœur » c’est-à-dire : « la carte tirée est le valet de cœur ».

L’événement AB ≠ ∅, c’est-à-dire l’événement AB n’est pas « impossible », donc les événements A et B ne sont pas disjoints (ou incompatibles).

AB désigne l’événement : « La carte tirée est un valet ou un cœur ». Il y a 11 éléments dans A ∪ B. (les 8 cœurs et les 3 valets autres que le valet de cœur).

• L’événement contraire de l’événement A est l’événement :

A¯ : « la carte tirée n’est pas un cœur ».

2Calcul des probabilités

La probabilité d’un événement A d’un univers fini Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent A. La probabilité de Ω est 1.

Pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Dans ce cas, la probabilité d’un événement élémentaire est :

1nombre d’éléments de Ω

et pour tout événement A,

P(A)=nombre d’éléments de Anombre d’éléments de Ω=nombre de cas favorablesnombre de cas possibles.

Pour tous événements disjoints A, B, P(A B) = P(A) + P(B).

Pour tout événement A, P(A¯)=1P(A). En particulier P(Ø) = 0.

Pour tous événements A, B, P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).

Exemple

Une enquête, concernant l’hygiène alimentaire, a été réalisée sur un échantillon de 800 personnes. Les personnes sont réparties en trois groupes.

Type 1 : les végétariens ; type 2 : les végétariens qui mangent néanmoins du poisson ; type 3 : les non-végétariens.

La répartition des personnes est donnée dans le tableau suivant.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_38

On choisit, au hasard, une des 800 personnes de l’échantillon, chacune ayant la même probabilité d’être choisie.

On définie les événements suivants :

A : « La personne choisie est non végétarienne » ;

B : « La personne choisie est un homme ».

Il y a équiprobabilité des tirages donc, d’après un résultat rappelé ci-dessus, P(A)=634800 ; P(A) = 0,7925 ; P(B)=360800 ; P(B) = 0,45.

AB est l’événement : « La personne choisie est un homme non végétarien ».

P(AB)=321800=0,40125.

AB est l’événement : « La personne choisie est non végétarienne ou est un homme ».

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) ; P(AB) = 0,79250 + 0,45000 – 0,40125 ; P(AB) = 0,84125.

3Probabilité conditionnelle

Exemple

Dans un lycée, cette année, au baccalauréat, on a relevé les résultats suivants.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_37

Après la publication des résultats, on rencontre au hasard un élève parmi l’ensemble des élèves de terminale. On considère les événements suivants :

G : « L’élève est un garçon » ; A : « L’élève a obtenu son baccalauréat ».

On a P(AG)=138400=0,345 et P(G)=171400=0,4275.

Cherchons maintenant la probabilité de rencontrer une personne admise au baccalauréat sachant que c’est un garçon.

La probabilité de rencontrer une personne admise au baccalauréat sachant que c’est un garçon est :

1381710,807 (résultat arrondi à 10–3).

Cette probabilité est appelé probabilité de A sachant G.

C’est une probabilité conditionnelle.

On note PG(A) la probabilité de A sachant G.

On peut remarquer que : PG(A)=138171=138400171400=P(AG)P(G).

Définition

Soit Ω un univers fini, P une probabilité et B un événement de probabilité P(B) non nulle.

La probabilité sachant que B (est réalisé) est définie pour tout événement A par :

PB(A)=P(AB)P(B).

Conséquence

Pour tous événements A et B de probabilités non nulles, P(AB) = PA(B) × P(A) = PB(A) × P(B).

Exemple

Reprenons l’exemple ci-dessus

La probabilité qu’une personne ait échoué sachant que c’est une fille est :

PG¯(A¯)=P(A¯G¯)P(G¯)=24400229400=242290,105 (en arrondissant à 10–3).

Propriétés

PB est une probabilité (comme P).

Cela signifie que les calculs de probabilités conditionnelles ont les mêmes propriétés que les calculs avec une probabilité P : PB() = 1.

• Pour tout événement A, 0  PB(A) ≤ 1.

• Pour tous événements disjoints ou incompatibles A, C :

PB(AC) = PB(A) + PB(C).

• Pour tout événement A, PB(A)=1PB(A).

• Pour tous événements A, C :

PB(AC)PB(A)PB(C)PB(AC).

4Arbres pondérés

Il est parfois utile de représenter une situation de probabilités par un « arbre pondéré » et de savoir utiliser cet arbre pour faire des calculs de probabilités.

Exemple

On a réalisé une enquête de santé auprès de 1 000 personnes employées dans une grande entreprise.

Les résultats figurent dans le tableau suivant.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_36

On prélève au hasard un questionnaire parmi l’ensemble des questionnaires remplis au cours de cette enquête. Tous les questionnaires ont la même probabilité d’être choisis.

On note :

B l’événement : « La personne correspondante est atteinte de bronchite » et B¯ l’événement contraire de B ;

F l’événement : « La personne correspondante est un fumeur » et F l’événement contraire de F.

On déduit immédiatement du tableau que : P(F) = 0,3, donc que P(F¯)=1P(F)=0,7.

À l’aide de la définition de probabilité conditionnelle et du tableau on obtient les probabilités conditionnelles suivantes :

PF(B) = 0,10 ; PF(B¯)=0,90 ; PF¯(B)=0,02 et PF¯(B¯)=0,98 ; et les probabilités :

P(FB) = 0,03 ; P(FB¯)=0,27 ; P(F¯B)=0,014 et P(F¯B¯)=0,686.

On appelle arbre pondéré un arbre pour lequel chaque branche est associée à une probabilité comme ci-dessous.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_35

En généralisant ce qu’on observe sur l’arbre pondéré de l’exemple précédent, on obtient les résultats suivants.

Cas général :

• Pour chacune des deux étapes, deux branches partent de chaque nœud et la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

Les résultats pour les arbres avec deux branches à la première étape s’étendent aux arbres avec trois branches à la première étape.

• À la seconde étape, les nombres inscrits sur les branches sont des probabilités conditionnelles.

Remarque importante

Pour chacune des quatre « successions de branches » à partir du nœud de base, il est important de distinguer :

• l’événement réalisé à l’issue de chaque étape ;

• le « résultat » qui est l’événement réalisé à l’issue de l’ensemble des deux étapes : c’est l’intersection des deux événements réalisés au cours des deux étapes.

Règle 1

La probabilité d’un « résultat » est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches qui conduisent à ce résultat.

Exemple

Dans le tableau accompagnant l’arbre pondéré ci-dessus, P(BF) = P(F) × PF(B).

Règle 2

La probabilité d’un événement apparaissant à l’issue de l’étape 2 est égale à la somme des probabilités des « résultats » dans lesquels cet événement figure.

Exemple

Reprenons l’exemple ci-dessus.

On a par exemple P(B¯)=P(B¯F)+P(B¯F¯), P(B¯)=0,270+0,686=0,956.

5Événements indépendants

Définition

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A) × P(B) ou PB(A) = P(A).

Pièges et difficultés

Ne pas confondre pour deux événements A, B :

• A et B sont incompatibles : AB = ∅,

• A et B sont indépendants : P(AB) = P(A) × P(B).

Exemple

Considérons le tirage au hasard d’une carte d’un jeu de 32 cartes.

L’expression « au hasard » permet de considérer qu’il y a équiprobabilité des 32 événements élémentaires : « tirer l’as de pique », « tirer l’as de cœur »…, « tirer le 7 de trèfle ». Soit A l’événement « tirer un as ».

A a quatre éléments, puisqu’il y a quatre as dans le jeu. Donc P(A)=432=18.

Soit B l’événement « tirer un cœur » : B a huit éléments, puisqu’il y a huit cœurs dans le jeu.

Donc P(B)=832=14.

AB est l’élément « tirer l’as de cœur » ; P(AB)=132.

Nous constatons que P(A)×P(B)=18×14=132=P(AB).

P(AB)=P(A)×P(B)

Donc, les événements A et B sont indépendants.