Probabilités

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Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Probabilités

Probabilités

1Rappels : Calcul des probabilités

A Calcul des probabilités

La probabilité d’un événement A d’un univers fini Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent A. La probabilité de Ω est 1.

Pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Dans ce cas, la probabilité d’un événement élémentaire est :

1nombre d’éléments de Ω

et pour tout événement A,

P(A)=nombre d’éléments de Anombre d’éléments de Ω=nombre de cas favorablesnombre de cas possibles.

Pour tous événements disjoints A, B, P(A B) = P(A) + P(B).

Pour tout événement A, P(A)=1P(A). En particulier P(Ø) = 0.

Pour tous événements A, B, P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).

2Probabilité conditionnelle

Exemple

Dans un lycée, cette année, au baccalauréat, on a relevé les résultats suivants.

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_6

Après la publication des résultats, on rencontre au hasard un élève parmi l’ensemble des élèves de terminale. On considère les événements suivants :

G : « L’élève est un garçon » ; A : « L’élève a obtenu son baccalauréat ».

On a P(AG)=138400=0,345 et P(G)=171400=0,4275.

Cherchons maintenant la probabilité de rencontrer une personne admise au baccalauréat sachant que c’est un garçon.

La probabilité de rencontrer une personne admise au baccalauréat sachant que c’est un garçon est :

1381710,807 (résultat arrondi à 10–3).

Cette probabilité est appelé probabilité de A sachant G.

C’est une probabilité conditionnelle.

On note PG(A) la probabilité de A sachant G.

On peut remarquer que : PG(A)=138171=138400171400=P(AG)P(G).

Définition

Soit Ω un univers fini, P une probabilité et B un événement de probabilité P(B) non nulle.

La probabilité sachant que B (est réalisé) est définie pour tout événement A par :

PB(A)=P(AB)P(B).

Conséquence

Pour tous événements A et B de probabilités non nulles, P(AB) = PA(B) × P(A) = PB(A) × P(B).

Exemple

Reprenons l’exemple ci-dessus.

La probabilité qu’une personne ait échoué sachant que c’est une fille est :

PG¯(A¯)=P(A¯G¯)P(G¯)=24400229400=242290,105 (en arrondissant à 10–3).

Propriétés

PB est une probabilité (comme P).

Cela signifie que les calculs de probabilités conditionnelles ont les mêmes propriétés que les calculs avec une probabilité P : PB(Ω) = 1.

• Pour tout événement A, 0 ≤ PB(A) ≤ 1.

• Pour tous événements disjoints ou incompatibles A, C :

PB(AC) = PB(A) + PB(C).

• Pour tout événement A, PB(A)=1PB(A).

• Pour tous événements A, C :

PB(AC) = PB(A) + PB(C) PB(AC).

3Arbres pondérés

Il est parfois utile de représenter une situation de probabilités par un « arbre pondéré » et de savoir utiliser cet arbre pour faire des calculs de probabilités.

Exemple

On a réalisé une enquête de santé auprès de 1 000 personnes employées dans une grande entreprise.

Les résultats figurent dans le tableau suivant.

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_5

On prélève au hasard un questionnaire parmi l’ensemble des questionnaires remplis au cours de cette enquête. Tous les questionnaires ont la même probabilité d’être choisis.

On note :

B l’événement : « La personne correspondante est atteinte de bronchite » et B¯ l’événement contraire de B ;

F l’événement : « La personne correspondante est un fumeur » et F¯ l’événement contraire de F.

On déduit immédiatement du tableau que : P(F) = 0,3, donc que P(F¯)=1PF=0,7.

À l’aide de la définition de probabilité conditionnelle et du tableau on obtient les probabilités conditionnelles suivantes :

PF(B) = 0,10 ; PF(B¯)=0,90 ; PF¯(B)=0,02 et PF¯(B¯)=0,98 ; et les probabilités :

P(FB) = 0,03 ; P(FB¯)=0,27 ; P(F¯B)=0,014 et P(F¯B¯)=0,686.

On appelle arbre pondéré un arbre pour lequel chaque branche est associée à une probabilité comme ci-dessous.

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_4

En généralisant ce qu’on observe sur l’arbre pondéré de l’exemple précédent, on obtient les résultats suivants.

Les résultats pour les arbres avec deux branches à la première étape s’étendent aux arbres avec trois branches à la première étape.

Cas général :

• Pour chacune des deux étapes, deux branches partent de chaque nœud et la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

• À la seconde étape, les nombres inscrits sur les branches sont des probabilités conditionnelles.

Remarque importante

Pour chacune des quatre « successions de branches » à partir du nœud de base, il est important de distinguer :

• l’événement réalisé à l’issue de chaque étape ;

• le « résultat » qui est l’événement réalisé à l’issue de l’ensemble des deux étapes : c’est l’intersection des deux événements réalisés au cours des deux étapes.

Règle 1

La probabilité d’un « résultat » est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches qui conduisent à ce résultat.

Exemple

Dans le tableau accompagnant l’arbre pondéré ci-dessus, P(BF) = P(F) × PF(B).

Règle 2

La probabilité d’un événement apparaissant à l’issue de l’étape 2 est égale à la somme des probabilités des « résultats » dans lesquels cet événement figure.

Exemples

• Reprenons l’exemple ci-dessus.

On a par exemple P(B)=P(BF)+P(BF), P(B)=0,270+0,686=0,956.

Avec trois branches à la première étape

On donne l’arbre pondéré suivant :

Ici le nombre de branches issues d’un même nœud est supérieur à 2.

12934_Math_41_stdi

Le calcul de la probabilité de l’événement R s’effectue en appliquant les règles 1 et 2 :

P(R) = P(BR) + P(TR) + P(SR) ;

P(R) = 0,40 × 0,50 + 0,25 × 0,60 + 0,35 × 0,45 ;

P(R) = 0,20 + 0,15 + 0,157 5 = 0,507 5.

4Loi binomiale (rappels de 1re STMG)

A Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli de paramètre p (nombre réel compris entre 0 et 1) est une épreuve aléatoire comportant deux issues :

12934_Math_42_stdi

Si on appelle « succès » obtenir une boule verte, p = 0,3.

Exemple

Dans l’exemple du paragraphe A, le tirage d’une boule de l’urne est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,7, si on appelle « succès » obtenir une boule rouge.

B Schéma de Bernoulli

Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est une épreuve aléatoire consistant à répéter n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

Exemple

Dans l’exemple du paragraphe A, on a un schéma de Bernoulli avec n = 2 et p = 0,7 (si le « succès » est : obtenir une boule rouge).

C Définition de loi binomiale

• La loi binomiale de paramètres n et p notée (n, p) est la loi de la variable aléatoire X qui donne le nombre de succès dans la répétition, de façon identique et indépendante, de n épreuves Bernoulli de paramètre p.

D Justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale

Justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale

Énoncé

Un éditeur produit en grande série un certain type de CD-Rom. Au cours de la fabrication de ce produit, un défaut de gravure, a, peut se produire.

Dans ce qui suit, les résultats approchés sont à arrondir à 10–2.

On note E l’événement : « Un disque prélevé au hasard dans un stock important présente le défaut a ». On a P(E) = 0,025. On prélève au hasard un stock de 50 disques dans le stock pour vérification de leur gravure. Le stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 disques.

On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 disques, associe le nombre de disques de ce prélèvement présentant le défaut a.

Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

solution

Chaque épreuve élémentaire, le tirage d’un disque au hasard dans le stock peut déboucher sur deux résultats et deux seulement : le disque présente le défaut a, événement de probabilité p = 0,025 et le disque ne présente pas le défaut a, événement de probabilité :

q = 1 – p = 0,975. (C’est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,025).

Mettre en évidence une épreuve de Bernoulli.

Mettre en évidence un schéma de Bernoulli.

• Chaque prélèvement de 50 disques est constitué par la répétition 50 fois, de façon identique et indépendante, de l’épreuve élémentaire, puisque le prélèvement est associé à un tirage avec remise. (C’est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 50 et p = 0,025.)

En déduire l’existence de la loi binomiale.

• Donc la variable aléatoire X qui associe à ces tirages le nombre de disques présentant le défaut a suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,025.

Méthode

Recopier dans la calculatrice ce modèle de solution pour les évaluations.

E Déterminer P(X = k), P (Xk)

En STMG, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour calculer directement P(X = k) ou P(X ≤ k).

Exemples

On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,05. On se propose de déterminer avec une calculatrice P(X = 2) et P(X ≤ 2).

Méthode

Procédure sur une calculatrice TI

12934_Math_43

On accède au menu « ­distribution » par 2nde / Distrib (ou DISTR).

Pour calculer P(X = k), on utilise l’instruction binomFdp ou binompdf.

Pour calculer P(X ≤ k), on utilise l’instruction binomFRép.

Procédure à suivre sur une calculatrice CASIO

On se place dans le Menu STAT.

On accède à la loi binomiale par DIST / BINM.

Pour calculer P(X = k), on utilise l’instruction Bpd.

Pour calculer P(X ≤ k), on utilise l’instruction Bcd.

12934_Math_44

En arrondissant à 10–3, on lit : P(X = 2) ≈ 0,081 et P(X ≤ 2) ≈ 0,118.

F Espérance, variance, écart type

Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale (n, p).

• L’espérance de X est : E(X) = np.

• La variance de X est : V(X) = np(1 – p).

• L’écart type de X est : σ(X)=np(1p).

Exemple

On reprend l’exemple du paragraphe B.

E(X) = 50 × 0,025 = 1,25

V(X) = 50 × 0,025 × 0,975 = 1,21875

σ(X) ≈ 1,10.

Exemple d’interprétation de E(X)

On reprend l’exemple du paragraphe B.

Si on réalise un très grand nombre de prélèvements de 50 disques, le nombre moyen de disques défectueux par prélèvement est 1,25.

5Loi normale

A Loi normale – Courbe en cloche

• Si n est « grand » et si p n’est « ni trop voisin de 0 ni trop voisin de 1 », alors la loi binomiale (n, p) admet pour approximation la loi normale 𝒩(µ, σ) de même espérance et de même écart type :

m = np et σ=np(1p).

On dit indifféremment « espérance » ou « moyenne ».

• Chaque couple (µ, σ) correspond à une « courbe en cloche ».

µ est l’espérance et σ l’écart type de la loi normale associée à la courbe en cloche.

• Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale 𝒩(µ, σ) et la courbe en cloche correspondante ». Les probabilités P(aXb) et P(Xx) sont les aires des parties coloriées en jaune sur les deux figures.

L’aire de la partie du plan limitée par la courbe en cloche et l’axe des abscisses est égale à 1.

12934_Math_45_stdi

• Les valeurs numériques de a, b et x étant données, on obtient les valeurs numériques de P(aXb) ou P(Xx) en utilisant une calculatrice ou un tableur et en remarquant, si nécessaire, que P(aXb)=P(Xb)P(Xa).

Champ d’intervention d’une loi normale

Une loi normale intervient dans la modélisation de phénomènes aléatoires possédant de nombreuses causes indépendantes dont les effets s’ajoutent, sans que l’un d’eux soit dominant.

Compte tenu de la complexité des processus industriels ou de laboratoire et des phénomènes économiques et sociaux, la loi normale apparaît dans de nombreux secteurs.

B Déterminer P(aXb) ou P(Xx)

En STMG, on utilise une calculatrice ou un tableur pour les calculs de probabilités avec une loi normale.

Exemple d’utilisation d’une calculatrice

Sur le compte rendu d’analyse de sang d’un laboratoire d’analyses biologiques, on peut lire la « plage de normalité » suivante, concernant le taux de cholestérol total :

« Taux de cholestérol total (g/L) N : 1,30 – 2,30 ».

On désigne par X la variable aléatoire qui associe à un adulte pris au hasard dans la population son taux de cholestérol total, exprimé en g/L. On admet que X suit la loi normale de moyenne 1,8 et d’écart type 0,25.

On se propose de déterminer avec une calculatrice les probabilités P(1,3 ≤ X ≤ 2,3) et P(X ≤ 1,6).

Méthode

Procédure sur une calculatrice TI

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_1

On accède au menu « distribution » par 2nde / Distrib (ou DISTR). Pour calculer

P(aX ≤ b), on utilise normalFRép ou normalcdf. Si l’une des bornes a ou b est absente, on la remplace par –1E99 ou 1E99.

Procédure sur une calculatrice CASIO

On se place dans le Menu STAT.

On accède à la loi normale par DIST / NORM.

Pour calculer P(aXb), on utilise Ncd.

Si l’une des bornes a ou b est absente, on la remplace par –1E99 ou 1E99.

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_0

On lit sur l’écran que P(1,3X2,3)0,954 et P(X1,6)0,212.

C Intervalle de fluctuation d’une variable aléatoire suivant une loi normale

• Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance µ et d’écart type σ.

P([µ – 2σµ + 2σ]) ≈ 0,95.

L’intervalle [µ – 2σ, µ + 2σ] est appelé intervalle de fluctuation d’une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres µ et σ.

Le résultat est obtenu avec une calculatrice ou un tableur.

Exemple

Une entreprise fabrique en grande quantité des rouleaux de papier peint. Leur largeur est exprimée en centimètres. On note X la variable aléatoire qui, à chaque rouleau prélevé au hasard dans la production d’une journée, associe sa largeur. On admet que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance µ = 53 et d’écart type σ = 0,04.

• La probabilité de l’événement E : « un rouleau prélevé au hasard dans la production d’une journée de la machine a une largeur qui appartient à l’intervalle [52,95 ; 53,05] est P(52,95 ≤ X ≤ 53,05) ≈ 0,789.

P(µ – 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0,95 se traduit par : P(53 – 0,08 ≤ X ≤ 53 + 0,08) = 0,95 ; P(52,92 ≤ X ≤ 53,08) = 0,95.

La probabilité qu’un rouleau prélevé au hasard dans la production d’une journée ait une largeur comprise entre 52,92 cm et 53,08 cm est égale à 0,95.

6Échantillonnage et prise de décision

A Intervalle de fluctuation à au moins 95 % d’une fréquence d’un échantillon de taille n

Un intervalle de fluctuation à au moins 95 % d’une fréquence d’un échantillon de taille n est :

p1n,p+1n

p est la proportion connue dans la population.

Exemple

À la session 2015 d’un baccalauréat technologique, 29,8 % des candidats reçus ont obtenu une mention (AB, B ou TB). Un intervalle de fluctuation à au moins 95 % de la fréquence des mentions dans un échantillon de 400 reçus choisis au hasard est :

I=p1n,p+1n=0,298120;0,298+120 ;

I = [0,248 ; 0,348] = [24,8 % ; 34,8 %].

Dans un échantillon de 400 reçus choisis au hasard, la probabilité que le pourcentage de reçus avec mention appartienne à l’intervalle [24,8 % ; 34,8 %] est égale à 0,95.

B Prise de décision à l’aide d’un intervalle de fluctuation

Au seuil de 5 %, si la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation p1n,p+1n, on accepte l’hypothèse selon laquelle la proportion est p dans la population ; sinon, on rejette l’hypothèse selon laquelle cette proportion vaut p.

Exemple

Un mois avant une élection, un candidat A affirme que 53 % des électeurs veulent voter pour lui. L’équipe de son adversaire fait réaliser un sondage portant sur 400 personnes prises au hasard parmi les électeurs. Le résultat de ce sondage donne 49 % de votes favorables au candidat A. Peut-on considérer au seuil de 5 % que l’affirmation du candidat A est vraie. On fait l’hypothèse : l’affirmation est vraie, c’est-à-dire la proportion des électeurs qui veulent voter pour le candidat A est p = 0,53.

Un intervalle de fluctuation à au moins 95 % de la fréquence des votes favorables au candidat A sur un échantillon de taille n = 400 est :

p1n,p+1n=[0,48;0,58].

Lorsque f n’appartient pas à l’intervalle de fluctuation on refuse l’affirmation.

La fréquence observée des votes favorables au candidat A dans l’échantillon est f = 0,49. Elle appartient à l’intervalle de fluctuation. On accepte donc l’affirmation du candidat A : 53 % des électeurs veulent voter pour lui.

7Intervalle de confiance d’une proportion

L’intervalle f1n,f+1n, où f est une fréquence obtenue sur un échantillon de taille n, est un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, pour la proportion, inconnue, p dans la population.

Si on prélève un très grand nombre de tels échantillons (on peut simuler de tels prélèvements sur calculatrice ou ordinateur), environ 95 pour 100 d’entre eux contiennent la proportion inconnue p de la population.

Exemple

Une banque se propose de vendre un nouveau produit d’assurance vie à ses clients. Un sondage réalisé auprès d’un échantillon aléatoire de 100 clients a montré que 50 clients sont intéressés par ce produit. La fréquence des clients intéressés par ce produit dans cet échantillon est :

f=50100=0,5.

Un intervalle de confiance, avec le coefficient de confiance 95 %, pour la proportion des clients intéressés par ce produit dans l’ensemble des clients de la banque est :

I=f1n,f+1n=[0,4;0,6]=[40%,60%].

(Ce qui signifie que la probabilité que la proportion de clients intéressés par ce produit dans l’ensemble des clients de la banque appartienne à l’intervalle [40 %, 60 %] est égale à 0,95.)

La probabilité que la proportion de clients intéressés dans l’ensemble des clients appartienne à l’intervalle I est 0,95.