Probabilités conditionnelles

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Classe(s) : Tle ST2S - Tle STI2D - Tle STL - Tle STMG | Thème(s) : Probabilités

A Conditionnement par un événement de probabilité non nulle

DÉFINITION

Lorsque les issues de l’univers Ω sont équiprobables, pour tous événements A et B de cardinaux non nuls, la probabilité de B sachant A est PA(B) = Card(AB)Card(A).

Propriété

La probabilité de B sachant A est PA(B) P(AB)P(A).

Propriétés

PA est une probabilité (comme P)

Cela signifie que les calculs de probabilités conditionnelles ont les mêmes propriétés que les calculs avec une probabilité P : PAΩ=1.

 Pour tout événement B, 0PAB1.

 Pour tous événements disjoints (ou incompatibles) B, C :

PABC=PAB+PAC.

 Pour tout événement B, PAB¯=1PAB.

 Pour tous événements B, C :

PABC=PAB+PACPABC

B Événements indépendants

DÉFINITION

Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A) × P(B) ou PA(B) = P(B).

remarque

Ne pas confondre pour deux événements A, B :

A et B sont incompatibles : AB = ∅,

A et B sont indépendants : P(AB) = P(A) × P(B).

EXEMPLE

Considérons le tirage au hasard d’une carte d’un jeu de 32 cartes.

L’expression « au hasard » permet de considérer qu’il y a équiprobabilité des 32 événements élémentaires : « tirer l’as de pique », « tirer l’as de cœur »…, « tirer le 7 de trèfle ». Soit A l’événement « tirer un as ».

A a quatre éléments, puisqu’il y a quatre as dans le jeu. Donc P(A)=432=18.

Soit B l’événement « tirer un cœur » : B a huit éléments, puisqu’il y a huit cœurs dans le jeu.

Donc P(B)=832=14.

AB est l’événement « tirer l’as de cœur » ; P(AB)=132.

Nous constatons que P(A)×P(B)=18×14=132=P(AB). P(AB)=P(A)×P(B)

Donc, les événements A et B sont indépendants.

C Arbres pondérés

EXEMPLE

• On a réalisé une enquête de santé auprès de 10 000 personnes employées dans une grande entreprise. Les résultats figurent dans le tableau suivant.

Tableau de 4 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;Nombre de fumeurs;Nombre de non‑fumeurs;Totaux;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Nombre de personnes atteintes de bronchites; 300; 140; 440; Ligne 2 : Nombre de personnes non atteinte de bronchites; 2 700; 6 860; 9 560; Ligne 3 : Totaux; 3 000; 7 000; 10 000;

On prélève au hasard un questionnaire parmi l’ensemble des questionnaires remplis au cours de cette enquête. Tous les questionnaires ont la même probabilité d’être choisis.

On note :

• B l’événement : « La personne correspondante est atteinte de bronchite » et B¯ l’événement contraire de B ;

• F l’événement : « La personne correspondante est un fumeur » et F¯ l’événement contraire de F.

On déduit immédiatement du tableau que : P(F) = 0,3, donc que P(F¯)=1PF=0,7.

À l’aide de la définition de probabilité conditionnelle et du tableau, on obtient les probabilités conditionnelles suivantes :

PF(B) = 0,10 ; PF(B¯)=0,90 ; PF¯(B)=0,02 et PF¯(B¯)=0,98 ; et les probabilités :

P(FB) = 0,03 ; P(FB¯)=0,27 ; P(F¯B)=0,014 et P(F¯B¯)=0,686.

• On appelle arbre pondéré un arbre pour lequel chaque branche est associée à une probabilité comme ci-dessous.

Tableau de 5 lignes, 4 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Étape 1;Étape 2;Résultat;Probabilité du résultat;Corps du tableau de 4 lignes ;Ligne 1 : ; ; B ∩ F; P(B ∩ F) = P(F) × PF(B) = 0,03; Ligne 2 : B¯∩F; P(B¯∩F)=P(F)×PF(B¯)=0,27; Ligne 3 : B∩F¯; P(B∩F¯)=P(F¯)×PF¯(B)=0,014; Ligne 4 : B¯∩F¯; P(B¯∩F¯)=P(F¯)×PF¯(B¯)=0,686;

En généralisant ce qu’on observe sur l’arbre pondéré de l’exemple précédent, on obtient les résultats suivants.

remarque

Pour chacune des quatre « successions de branches » à partir du nœud de base, il est important de distinguer :

l’événement réalisé à l’issue de chaque étape ;

le « résultat » qui est l’événement réalisé à l’issue de l’ensemble des deux étapes : c’est l’intersection des deux événements réalisés au cours des deux étapes.

Cas général

• Pour chacune des deux étapes, deux branches partent de chaque nœud et la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

• À la seconde étape, les nombres inscrits sur les branches sont des probabilités conditionnelles.

Les résultats pour les arbres avec deux branches à la première étape s’étendent aux arbres avec trois branches à la première étape.

Trois propriétés à retenir

1. Les probabilités indiquées sur les branches partant d’un même nœud ont pour somme 1.

2. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités indiquées sur ses branches.

3. La probabilité d’un événement constitué de plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins.

EXEMPLE

 Sur l’arbre pondéré précédent, on lit : PBF=PF×PFB d’après la propriété 2. (de l’encadré ci-dessus).

- En appliquant la propriété 3. (de l’encadré ci-dessus) on obtient, par exemple, dans l’exemple du début du 2. C. :

PB¯=PB¯F+PB¯F, PB¯=0,270+0,686=0,956.

Un exemple avec trois branches à la première étape.

On donne l’arbre pondéré suivant :

14628_Math_41_stdi

Ici le nombre de branches issues d’un même nœud est supérieur à 2.

Le calcul de la probabilité de l’événement R s’effectue en appliquant les propriétés 2 et 3 :

P(R) = P(BR) + P(TR) + P(SR)

(d’après la propriété 3) ;

P(R) = 0,40 × 0,50 + 0,25 × 0,60 + 0,35 × 0,45

(d’après la propriété 2) ;

P(R) = 0,20 + 0,15 + 0,157 5 = 0,507 5.

Formule des probabilités totales

La formule des probabilités totales traduit le résultat 3 ci-dessus qui se généralise à n chemins (ci-dessous n = 3).

Soit A1, A2 et A3 des événements de probabilités non nulles, deux à deux disjoints, dont l’union est l’univers Ω. Pour tout événement B, on a : P(B) = P(B A1) + P(B A2) + P(B A3).