A Exemple

Dans un lycée, cette année, au baccalauréat, on a relevé les résultats suivants.

Après la publication des résultats, on rencontre au hasard un élève parmi l'ensemble des élèves de terminale. Tous les élèves ont la même probabilité d'être rencontrés. On considère les événements suivants :

G : « L'élève est un garçon » ; A : « L'élève a obtenu son baccalauréat ».

On a $P(A\cap G)=\frac{138}{400}=\mathrm{0,345}$ et $P(G)=\frac{171}{400}=\mathrm{0,4275}$.

Cherchons maintenant la probabilité de rencontrer une personne admise au baccalauréat sachant que c'est un garçon.

La probabilité de rencontrer une personne admise au baccalauréat sachant que c'est un garçon est :

$\frac{138}{171}\approx \mathrm{0,807}$ (résultat arrondi à 10^–3).

Cette probabilité est appelée probabilité de A sachant G.

C'est une probabilité conditionnelle. On note P_G(A) la probabilité de A sachant G.

On a $P_G(A)=\frac{138}{171}\approx \mathrm{0,81}$.

Les nombres 138 et 171 sont respectivement $\text{Card}(G\cap A)$ et $\text{Card}(G)$. Nous constatons alors que, dans le cas de ces deux éléments G et A, que : $P_G(A)=\frac{\text{Card}(G\cap A)}{\text{Card}(G)}$.

B Conditionnement par un événement de probabilité non nulle

D'une manière générale, lorsque les issues sont équiprobables, une probabilité conditionnelle est définie par l'égalité obtenue ci-dessus dans un cas particulier.

DÉFINITION

Lorsque les issues de l'univers Ω sont équiprobables, pour tous événements A et B de cardinaux non nuls, la probabilité de B sachant A est P_A(B) = $\frac{\text{Card}\left(A\cap B\right)}{\text{Card}\left(A\right)}$.

Propriété

La probabilité de B sachant A est P_A(B) = $\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$.

Propriétés

P_A est une probabilité (comme P).

Cela signifie que les calculs de probabilités conditionnelles ont les mêmes propriétés que les calculs avec une probabilité P : $P_A\left(\Omega \right)=1$.

 Pour tout événement B, $0\le P_A\left(B\right)\le 1$.

 Pour tous événements disjoints (ou incompatibles) B, C :

$P_A\left(B\cup C\right)=P_A\left(B\right)+P_A\left(C\right)$.

 Pour tout événement B, $P_A\left(\overline{B}\right)=1-P_A\left(B\right)$.

 Pour tous événements B, C :

$P_A\left(B\cup C\right)=P_A\left(B\right)+P_A\left(C\right)-P_A\left(B\cap C\right)$