Probabilités conditionnelles et indépendance

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Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Probabilités conditionnelles et indépendance


Un événement A peut influencer, par sa réalisation ou sa non ­réalisation, un événement B. En même temps l’événement A peut n’avoir aucune influence sur B : ces deux événements sont alors indépendants.

I Probabilités conditionnelles

On se place dans un univers Ω muni d’une probabilité P. Soit A un événement de probabilité non nulle.

Définition. La probabilité de l’événement B, sachant que A est réalisé est le nombre noté PA(B) défini par :

PA(B)=P(AB)P(A)

Formule des probabilités composées :

À noter

On voit qu’en général, P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B).

P(A ∩ B) = PA(B)P(A)

L’application PA définie sur Ω par PA(X)=P(AX)P(A) a toutes les propriétés d’une probabilité. En particulier :

PA(B ∪ C) = PA(B) + PA(C) – PA(B ∩ C) et PA(B¯)=1PA(B).

II Événements indépendants

Définition. Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que :

P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Intuitivement, dire que A et B sont indépendants suggère que la réalisation de A n’influence pas celle de B, donc que PA(B) = P(B).

mot clé

Ne pas confondre « événements indépendants », notion qui dépend de la probabilité choisie sur l’univers Ω, et « événements incompatibles » (A ∩ B = ) qui n’en dépend pas.

Dans la pratique, pour calculer P(A ∩ B), il y a deux méthodes :

• la formule des probabilités composées, qui se réduit à P(A ∩ B) = P(A) P(B) dans le cas où A et B sont indépendants ;

• la formule P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B).

Méthode

Calculer des probabilités conditionnelles avec un tableau

Dans un sac, il y a des pièces anciennes qui sont soit en or (O), soit en argent (A). Certaines proviennent du pays X, les autres du pays Y. On prélève une pièce au hasardPB_Bac_05285_Math1_TT_p259-286_C10_Groupe_Schema_1.

a. Interpréter et compléter le tableau ci-contre.

b. Quelle est la probabilité que la pièce soit en or et du pays X ?

c. Montrer que la probabilité qu’elle soit en or sachant qu’elle provient du pays X est égale à 37.PB_Bac_05285_Math1_TT_p259-286_C10_Groupe_Schema_2

d. Les événements O et X sont-ils indépendants ?

e. Vérifier que le tableau ci-contre, comptant les pièces dans un autre sac, est cohérent. Ici, les événements O et X sont-ils indépendants ?

conseils

a. 100 % des pièces proviennent des pays X et Y. b. Calculez la probabilité d’une intersection. c. Le mot-clé est « sachant ». d. Utilisez la définition de la fiche. e. Reprenez les raisonnements précédents. Vous aurez une surprise…

solution

PB_Bac_05285_Math1_TT_p259-286_C10_Groupe_Schema_3

a. 45 % des pièces sont en or donc 55 % sont en argent. 56 % des pièces proviennent du pays X donc 44 % proviennent de Y.

23 % des pièces sont en argent du pays Y, or 0,55 – 0,23 = 0,32 donc 32 % des pièces sont en argent du pays X.

b. P(O ∩ X) = 0,24. c. PX(O)=P(XO)P(X)=0,240,56=37.

d. Comme PX(O) ≠ P(O), les événements O et X ne sont pas indépendants.

e. Ici P(XO)=3601500=0,24, P(O)P(X)=6751500=5001500=0,24. Les deux événements sont ici indépendants !

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