Produit d'un vecteur par un réel

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Classe(s) : 2de | Thème(s) : Manipuler les vecteurs du plan

Il n’est pas possible de définir une multiplication de vecteurs dont le résultat serait encore un vecteur. En revanche, on peut définir la multiplication d’un vecteur par un nombre réel.

I Définition et propriétés

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Soit un vecteur u et un réel k non nuls. Pour tracer un vecteur AB égal à ku :

 on trace une droite d de même direction que u passant par A ;

 à partir du point A, on place sur d le point B de telle sorte que AB = |k|u u est la longueur du vecteur u. Le vecteur ku a le même sens que u si k > 0 et le sens contraire si k < 0.

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Exemple : Sur la figure ci-contre, k = 1,5 (positif).

Le point B a divers emplacements selon la valeur de k :

 à gauche de A si k ⩽ 0 ;

 à l’intérieur de [AO] si 0 ⩽ k ⩽ 1 ;

 à droite de O si k ⩾ 1.

Égalité de la demi-diagonale du parallélogramme

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Si I est le milieu de [BC], on a la relation :

AB+AC=AS=2 AI

II Effet de transformations sur les vecteurs

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Par une symétrie centrale (ici de centre I), deux points A et B sont transformés en A et B. On a :

A′B′=AB=(1)AB

Dans une configuration de Thalès, c’est-à-dire lorsque les droites (AB) et (AB) des triangles OAB et OAB sont parallèles on a :

OA′=kOAOB′=kOB et A′B′=kAB

Méthode

Utiliser les effets de transformations sur les vecteurs

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On construit un hexagone régulier ABCDEF de centre O par la méthode de la rosace. On sait alors que le côté de l’hexagone est égal au rayon du cercle circonscrit (en rouge).

1. Justifier que (AB) ∕∕ (FC) ∕∕ (ED) puis (BC) ∕∕ (AD) ∕∕ (FE) et (AF) ∕∕ (BE) ∕∕ (CD).

2. Compléter les égalités suivantes :

a. FC=  AB b. BC=DA c. OE=BE

3. Exprimer BE en fonction de BO, et CO en fonction de CF.

4. Exprimer OF+OB en fonction de AO.

5. Est-il possible d’exprimer DB+DE à l’aide de BC ?

conseils

1. Utilisez une symétrie centrale.

2. et 3. Utilisez les longueurs des côtés et des diagonales d’un hexagone régulier.

4. On pourra utiliser l’égalité de la demi-diagonale d’un parallélogramme.

5. Examinez la nature du quadrilatère ABDE.

solution

1. Par la symétrie centrale de centre O, A est transformé en D et B en E. Donc (AB) ∕∕ (DE). Comme ABOF est un losange, (AB) ∕∕ (FO) donc (AB) ∕∕ (FC). On a donc bien (AB) ∕∕ (FC) ∕∕ (ED). Les parallélismes des autres droites se démontrent de façon analogue.

2. Comme FC = AD = BE (diamètre du cercle) et AB = BC = OE (rayon du cercle), on trouve, avec le parallélisme démontré précédemment :

a. FC=2 AB b. BC=12AD=12DA c. OE=12BE

3. On trouve de même : BE=2BO et CO=12CF.

4. D’après la définition d’une somme vectorielle on a, dans le parallélogramme OFAB :  OF+OB=OA, donc OF+OB=AO.

5. ABDE est un parallélogramme car ses côtés opposés [AB] et [ED] sont parallèles et de même longueur. Donc, d’après la définition d’une somme vectorielle, DB+DE=DA. Comme DA=2CB=2BC on en déduit que DB+DE=2BC.

Il est donc possible d’exprimer DB+DE à l’aide de BC.

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