Fiche de révision

Produit scalaire de deux vecteurs

Première générale Maths (spé) Calcul vectoriel – Produit scalaire


L'outil « produit scalaire » permet de résoudre de nouveaux ­problèmes de géométrie, par exemple calculer une mesure d'angle ou la longueur d'un segment.

I Définition

À noter

Puisque u→≠0→ et v→≠0→, on a A ≠ B et A ≠ C.

Soit u→ et v→ deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est un nombre réel noté u→⋅v→ (on lit « u scalaire ν »).

Si l'un des vecteurs u→ ou v→ est le vecteur nul, alors u→⋅v→=0.

Si aucun des vecteurs u→ et v→ n'est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que u→=AB→ et v→=AC→.

On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors :

u→⋅v→={AB×AH si  AB→ et  AH→ sont de même sens–AB×AH si  AB→ et  AH→ sont de sens opposés

Cas particulier : si u→ et v→ sont colinéaires et u→≠0→ et v→≠0→, alors :

u→⋅v→={||u→||×||v→||si u→ et v→ sont de même sens–||u→||×||v→||si u→ et v→ sont de sens opposés

mot clé

u→⋅u→ est le carré scalaire de u→ ; u→⋅u→=||u→||2.

II Propriétés

Symétrie : pour tous vecteurs u→ et v→, u→⋅v→=v→⋅u→.

Bilinéarité : pour tous vecteurs u→, v→ et w→ et tout réel k :

{u→⋅(v→+w→)=u→⋅v→+u→⋅w→u→⋅(kv→)=(ku→)⋅v→=k(u→⋅v→)

III Expression dans une base orthonormée

Si les vecteurs u→ et v→ ont pour coordonnées (x ; y) et (x′ ; y′) dans une même base orthonormée du plan, alors :

u→⋅v→=xx′+yy′

Norme d'un vecteur : pour tout vecteur u→ de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée :

||u→||=x2+y2

Méthode

Calculer des produits scalaires

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Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3, ABE est un triangle équilatéral, H est le milieu du segment [AB].

Calculer les produits scalaires suivants :

a. BC→⋅CD→b. DC→⋅DH→c. AB→⋅AC→d. BA→⋅AE→e. AB→⋅EC→

conseils

a. Considérez les directions des deux vecteurs.

b. Décomposez le vecteur DH→ en utilisant la relation de Chasles.

c. Considérez le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

d. Remarquez que BA→=–AB→, puis considérez le projeté orthogonal de E sur la droite (AB).

e. Utilisez les résultats des deux questions précédentes.

solution

a. Les droites (BC) et (CD) sont perpendiculaires, donc les vecteurs BC→ et CD→ sont orthogonaux, donc BC→⋅CD→=0.

b. DH→=DA→+AH→, donc DC→  ⋅  DH→  =  DC→  ⋅  (DA→  +  AH→)  =  DC→  ⋅  DA→  +  DC→  ⋅  AH→.

Les vecteurs DC→ et DA→ sont orthogonaux (les droites (DC) et (DA) sont perpendiculaires), donc DC→⋅DA→=0.

DC→⋅AH→=DC×AH car les vecteurs DC→ et AH→ sont colinéaires de même sens.

Or DC = AB = 4 et AH=12AB=2, donc DC→⋅AH→=4×2=8.

D'où DC→⋅DH→=0+8, soit DC→⋅DH→=8.

c. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B, donc AB→⋅AC→=AB×AB, donc AB→⋅AC→=16.

d. On a BA→⋅AE→=–AB→⋅AE→. Le triangle ABE est équilatéral, donc (EH) est la médiatrice du segment [AB]. Le projeté orthogonal de E sur la droite (AB) est donc H. Les vecteurs AB→ et AH→ sont colinéaires de même sens, donc AB→⋅AE→=AB×AH, donc BA→⋅AE→=–AB×AH, soit BA→⋅AE→=–8.

e. Par la relation de Chasles : AB→⋅EC→=AB→⋅(EA→+AC→)=AB→⋅EA→+AB→⋅AC→.

AB→⋅EA→=(–BA→)⋅(–AE→)=BA→⋅AE→, donc AB→⋅EA→=–8. De plus AB→⋅AC→=16.

Donc AB→⋅EC→=–8+16, soit AB→⋅EC→=8.

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