Produit scalaire de deux vecteurs

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Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Calcul vectoriel – Produit scalaire


L’outil « produit scalaire » permet de résoudre de nouveaux ­problèmes de géométrie, par exemple calculer une mesure d’angle ou la longueur d’un segment.

I Définition

À noter

Puisque u0 et v0, on a A  B et A  C.

Soit u et v deux vecteurs du plan. Leur produit scalaire est un nombre réel noté uv (on lit « u scalaire ν »).

Si l’un des vecteurs u ou v est le vecteur nul, alors uv=0.

Si aucun des vecteurs u et v n’est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que u=AB et v=AC.

On appelle H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors :

uv={AB×AH si  AB et  AH sont de même sensAB×AH si  AB et  AH sont de sens opposés

Cas particulier : si u et v sont colinéaires et u0 et v0, alors :

uv={||u||×||v||si u et v sont de même sens||u||×||v||si u et v sont de sens opposés

mot clé

uu est le carré scalaire de u ; uu=||u||2.

II Propriétés

Symétrie : pour tous vecteurs u et v, uv=vu.

Bilinéarité : pour tous vecteurs u, v et w et tout réel k :

{u(v+w)=uv+uwu(kv)=(ku)v=k(uv)

III Expression dans une base orthonormée

Si les vecteurs u et v ont pour coordonnées (x ; y) et (x ; y) dans une même base orthonormée du plan, alors :

uv=xx+yy

Norme d’un vecteur : pour tout vecteur u de coordonnées (x ; y) dans une base orthonormée :

||u||=x2+y2

Méthode

Calculer des produits scalaires

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Sur la figure ci-contre, ABCD est un rectangle tel que AB = 4 et BC = 3, ABE est un triangle équilatéral, H est le milieu du segment [AB].

Calculer les produits scalaires suivants :

a. BCCDb. DCDHc. ABACd. BAAEe. ABEC

conseils

a. Considérez les directions des deux vecteurs.

b. Décomposez le vecteur DH en utilisant la relation de Chasles.

c. Considérez le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

d. Remarquez que BA=AB, puis considérez le projeté orthogonal de E sur la droite (AB).

e. Utilisez les résultats des deux questions précédentes.

solution

a. Les droites (BC) et (CD) sont perpendiculaires, donc les vecteurs BC et CD sont orthogonaux, donc BCCD=0.

b. DH=DA+AH, donc DCDH=DC(DA+AH)=DCDA+DCAH.

Les vecteurs DC et DA sont orthogonaux (les droites (DC) et (DA) sont perpendiculaires), donc DCDA=0.

DCAH=DC×AH car les vecteurs DC et AH sont colinéaires de même sens.

Or DC = AB = 4 et AH=12AB=2, donc DCAH=4×2=8.

D’où DCDH=0+8, soit DCDH=8.

c. Le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) est B, donc ABAC=AB×AB, donc ABAC=16.

d. On a BAAE=ABAE. Le triangle ABE est équilatéral, donc (EH) est la médiatrice du segment [AB]. Le projeté orthogonal de E sur la droite (AB) est donc H. Les vecteurs AB et AH sont colinéaires de même sens, donc ABAE=AB×AH, donc BAAE=AB×AH, soit BAAE=8.

e. Par la relation de Chasles : ABEC=AB(EA+AC)=ABEA+ABAC.

ABEA=(BA)(AE)=BAAE, donc ABEA=8. De plus ABAC=16.

Donc ABEC=8+16, soit ABEC=8.

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