Terminale générale Mathématiques Orthogonalité et distances dans l'espace

La définition du produit scalaire donnée dans le plan peut être étendue à l'espace. On retrouve alors les mêmes propriétés que dans le plan.

I Définition

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace.

Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0},$ alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Si $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $\vec{v} \neq \vec{0},$ alors :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ‖\vec{u}‖ \times ‖\vec{v}‖ \times cos (\vec{u}; \vec{v})$

où l'angle $(\vec{u}; \vec{v})$ est défini comme en géométrie plane.

À noter

Comme dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace est un nombre réel.

II Propriétés

Soit $\vec{u}, \vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs de l'espace, et $α$ un nombre réel.

Commutativité et distributivité

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

$(α \vec{u}) \cdot \vec{v} = α (\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (α \vec{v})$

$(\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w}$

Norme

$\vec{u} \cdot \vec{u} = {‖\vec{u}‖}^{2},$ noté aussi ${\vec{u}}^{2}$ (carré scalaire du vecteur $\vec{u}$ )

${‖\vec{u} + \vec{v}‖}^{2} = {‖\vec{u}‖}^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {‖\vec{v}‖}^{2}$

${‖\vec{u} - \vec{v}‖}^{2} = {‖\vec{u}‖}^{2} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {‖\vec{v}‖}^{2}$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} ({‖\vec{u}‖}^{2} + {‖\vec{v}‖}^{2} - {‖\vec{u} - \vec{v}‖}^{2}) = \frac{1}{2} ({‖\vec{u} + \vec{v}‖}^{2} - {‖\vec{u}‖}^{2} - {‖\vec{v}‖}^{2})$

Orthogonalité

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ ou $\vec{u}$ ⊥ $\vec{v}$

III Expression analytique du produit scalaire

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ .

Soit $\vec{u} (x; y; z)$ et $\vec{v} (x^{'}; y^{'}; z^{'})$ deux vecteurs de l'espace.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'} + z z^{'}$

$‖\vec{u}‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

$AB = ‖\vec{AB}‖ = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$

(avec $\vec{u} = \vec{AB}$ et $A (x_{A}; y_{A}; z_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ ).

Méthode

Calculer des distances dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère le tétraèdre ABCD de sommets :

$A (0; 0; 3), B (2 \sqrt{2}; 0; - 1), C (- \sqrt{2}; - \sqrt{6}; - 1), D (- \sqrt{2}; \sqrt{6}; - 1)$ .

$R, S, T$ et $U$ sont les milieux respectifs des arêtes $[AC], [AD], [BD]$ et $[BC]$ .

1. Démontrer que le tétraèdre $ABCD$ est régulier, c'est-à-dire que toutes ses arêtes sont de même longueur.

2. a. Démontrer que le quadrilatère $RSTU$ est un parallélogramme.

b. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.

Conseils

1. Identifiez les arêtes et montrez qu'elles sont de même longueur.

Solution

1. $AB = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2}} = \sqrt{8 + 16} = \sqrt{24}$

On démontre de même que $AC = AD = BC = BD = CD = \sqrt{24}$ .

Le tétraèdre $ABCD$ est un tétraèdre régulier.

2. a. Le point R est le milieu de [AC], donc il a pour coordonnées $(\frac{0 - \sqrt{2}}{2}; \frac{0 - \sqrt{6}}{2}; \frac{3 - 1}{2})$ , soit $R (- \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{6}}{2}; 1)$ . On obtient de même :

$S (- \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2}; 1); T (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2}; - 1); U (\frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{6}}{2}; - 1)$ .

On en déduit que :

$\vec{RS} (- \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2}); \frac{\sqrt{6}}{2} - (- \frac{\sqrt{6}}{2}); 1 - 1),$ soit $\vec{RS} (0; \sqrt{6}; 0)$ .

$\vec{UT} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{6}}{2} - (- \frac{\sqrt{6}}{2}); - 1 - (- 1)),$ soit $\vec{UT} (0; \sqrt{6}; 0)$ .

Ainsi, $\vec{RS} = \vec{UT},$ donc le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.

b. On a $\vec{RS} (0; \sqrt{6}; 0)$ .

De même $\vec{ST} (\frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2}); \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2}; - 1 - 1),$ soit $\vec{ST} (\sqrt{2}; 0; - 2)$ .

$RS = \sqrt{0^{2} + {(\sqrt{6})}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{6}$ et $ST = \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + 0^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{6}$ .

De plus, $\vec{RS} \cdot \vec{ST} = 0 \times \sqrt{2} + \sqrt{6} \times 0 + 0 \times (- 2) = 0$ .

Ainsi, les côtés consécutifs $[RS]$ et $[ST]$ sont perpendiculaires et égaux. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle et un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux est un carré, donc $RSTU$ est un carré.

Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace