Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Orthogonalité et distances dans l’espace


La définition du produit scalaire donnée dans le plan peut être étendue à l’espace. On retrouve alors les mêmes propriétés que dans le plan.

I Définition

Soit u et v deux vecteurs de l’espace.

Si u=0 ou v=0, alors uv=0.

Si u0 et v0, alors :

uv=u×v×cosu;v

où l’angle (u ; v) est défini comme en géométrie plane.

À noter

Comme dans le plan, le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace est un nombre réel.

II Propriétés

Soit u, v et w des vecteurs de l’espace, et α un nombre réel.

Commutativité et distributivité

uv=vu

uv+w=uv+uw

αuv=αuv=uαv

u+vw=uw+vw

Norme

uu=u2, noté aussi u2 (carré scalaire du vecteur u)

u+v2=u2+2uv+v2

uv2=u22uv+v2

uv=12u2+v2uv2=12u+v2u2v2

Orthogonalité

uv=0u=0 ou v=0 ou uv

III Expression analytique du produit scalaire

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; i, j, k).

Soit u(x ; y ; z) et v(x ; y ; z) deux vecteurs de l’espace.

uv=xx+yy+zz

u=x2+y2+z2

AB=AB=xBxA2+yByA2+zBzA2

  (avec u=AB et AxA;yA;zA et BxB;yB;zB).

Méthode

Calculer des distances dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O ; i, j, k), on considère le tétraèdre ABCD de sommets :

A(0 ; 0 ; 3), B(22 ; 0 ; 1), C(2 ; 6 ; 1), D(2 ; 6 ; 1).

R, S, T et U sont les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC].

1. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier, c’est-à-dire que toutes ses arêtes sont de même longueur.

2. a. Démontrer que le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.

b. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.

Conseils

1. Identifiez les arêtes et montrez qu’elles sont de même longueur.

Solution

1. AB=(22)2+(13)2=8+16=24

On démontre de même que AC=AD=BC=BD=CD=24.

Le tétraèdre ABCD est un tétraèdre régulier.

2. a. Le point R est le milieu de [AC], donc il a pour coordonnées (022 ; 062 ; 312), soit R(22 ; 62 ; 1). On obtient de même :

S(22 ; 62 ; 1) ; T(22 ; 62 ; 1) ; U(22 ; 62 ; 1).

On en déduit que :

RS(22(22) ; 62(62) ; 11), soit RS(0 ; 6 ; 0).

UT(2222 ; 62(62) ; 1(1)), soit UT(0 ; 6 ; 0).

Ainsi, RS=UT, donc le quadrilatère RSTU est un parallélogramme.

b. On a RS(0 ; 6 ; 0).

De même ST(22(22) ; 6262 ; 11), soit ST(2 ; 0 ;2).

RS=02+(6 )2+02=6 et ST=(2)2+02+(2)2=6.

De plus, RSST=0×2+6×0+0×2=0.

Ainsi, les côtés consécutifs [RS] et [ST] sont perpendiculaires et égaux. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle et un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux est un carré, donc RSTU est un carré.