Produit scalaire et orthogonalité

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Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Calcul vectoriel – Produit scalaire

Le produit scalaire de deux vecteurs peut s’exprimer à partir de leurs normes et de leur angle. L’orthogonalité de deux vecteurs, prouvée à l’aide d’un calcul de produit scalaire, est associée à la perpendicularité de deux droites.

I Autre expression du produit scalaire

Soit u et v deux vecteurs du plan.

Si l’un des vecteurs u ou v est le vecteur nul, alors uv=0.

Si aucun des vecteurs u et v n’est le vecteur nul, alors on considère trois points A, B et C tels que u=AB et v=AC. Avec α une mesure de l’angle BAC^ on a :

uv=AB×AC×cosα

Remarques :

• Si l’angle BAC^ est aigu, alors α[0;π2[ et cos α > 0, donc uv>0.

• Si l’angle BAC^ est obtus, alors α[π2;π[ et cos α < 0, donc uv<0.

• Si BAC^ est un angle droit, alors cos α = 0 et uv=0.

II Vecteurs orthogonaux

1 Définition

Soit u et v deux vecteurs du plan.

u et v sont orthogonaux si et seulement si : uv=0

Le vecteur nul 0 est orthogonal à tous les vecteurs du plan.

Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs AB et CD sont orthogonaux.

Si u est un vecteur directeur de la droite 𝒟, alors tout vecteur non nul orthogonal à u est appelé vecteur normal à 𝒟.

2 Critère d’orthogonalité

Si les vecteurs u et  v ont pour coordonnées (x ; y) et (x ; y) dans une même base orthonormée du plan, alors u et v sont orthogonaux si et seulement si :

xx + yy = 0

Méthodes

1 Montrer que deux droites sont perpendiculaires

ABCD est un carré de côté c. Les points E et F sont définis par CE=32CD et BF=32BC. Montrer que les droites (AF) et (BE) sont perpendiculaires.

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conseils

Utilisez la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs AF et BE et les écrire en fonction des vecteurs AB, BC et CD, puis calculez leur produit scalaire.

solution

AF=AB+BF=AB+32BC et BE=BC+CE=BC+32CD.

Donc AFBE=(AB+32BC)(BC+32CD) et, en développant :

AFBE=ABBC+32ABCD+32BCBC+94BCCD.

ABBC=0 et BCCD=0 car BC est orthogonal à AB et à CD.

ABCD=c2 et BCBC=c2, d’où AFBE=032c2+32c2+94×0=0.

AF et BE sont orthogonaux, donc (AF) et (BE) sont perpendiculaires.

2 Calculer la mesure d’un angle

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O, I, J), on considère les points A(2 ; 4), B(–2 ; 2) et C(6 ; –2). Calculer le produit scalaire ABAC et en déduire la mesure α en degrés de l’angle BAC^ à 0,1 degré près.

conseils

Calculez les coordonnées des vecteurs AB et AC. Utilisez une expression du produit scalaire pour calculer les distances AB et AC, puis cos α.

solution

AB(4 ;2) et AC(4 ;6), donc ABAC=4×4+(2)×(6)=4.

On sait que ABAC=AB×AC×cosα où α est la mesure de l’angle BAC^.

Donc cosα=ABACAB×AC.

Or AB=16+4=20=25 et AC=16+36=52=213AC=16+36=52=213.

Donc cosα=425×213, soit cosα=165 et α = 97,1° à 0,1 degré près.

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