A Fonctions en informatique

La syntaxe d'une fonction en langage Python est :

Une fonction peut avoir aucun, un ou plusieurs paramètres.

Le résultat éventuel d'une fonction, renvoyé par le mot-clé return, est utilisable dans un programme ou une autre fonction.

B Résolution approchée d'une équation par balayage

On considère la situation suivante : rechercher une valeur approchée à 0,01 près de la solution x₀ de l'équation 10^x = 25. Considérons la fonction f définie par f : x ↦ 10^x. En langage Python, on peut définir cette fonction par :

On a le tableau de variation suivant :

La fonction f est dérivable, strictement croissante sur l'intervalle [1, 2] où l'équation f(x) = 25 admet une solution unique x₀. Le principe de l'algorithme de balayage à un « pas » donné, à partir de x = 1, consiste à :

ajouter à x la valeur du pas ;

calculer l'image par f ;

recommencer jusqu'à ce que l'image par f dépasse la valeur 25.

En prenant comme valeur du pas 0,01, l'algorithme suivant fournit un encadrement de x₀ de longueur 0,01.

On sait que la solution de l'équation 10^x = 25 est log (25) qui vaut environ 1,39794.

Pour un pas de 0,01, la fonction balayage renvoie le couple (1.3900000000000003, 1.4000000000000004) qui correspond à l'encadrement [1,39 ; 1,40].

C Révolution approchée d'une équation par dichotomie

On reprend la situation précédente : rechercher une valeur approchée à 0,01 près de la solution x₀ de l'équation 10^x = 25. Considérons, à présent, la fonction f définie par f : x ↦ 10^x − 25 de sorte que l'on recherche x₀ tel que f(x₀) = 0. En langage Python, on peut définir cette fonction par :

La fonction f est dérivable, strictement croissante sur l'intervalle [1, 2] avec f(1) < 0 et f(2) > 0. L'équation f(x) = 0 admet donc une solution unique x₀ dans l'intervalle [1, 2]. Le principe de l'algorithme de dichotomie pour une approximation donnée, consiste, à partir de l'intervalle [a, b] où a = 1 et b = 2, à :

calculer l'image par f du milieu de l'intervalle [a, b], $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ ;

si $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ < 0, remplacer l'intervalle [a, b] par l'intervalle $\left[\frac{a+b}{2},b\right]$ ;

sinon, remplacer l'intervalle [a, b] par l'intervalle $\left[a,\frac{a+b}{2}\right]$ ;

recommencer tant que la longueur de l'intervalle (qui est divisée par 2 à chaque étape) est supérieure à l'approximation donnée.

En prenant comme valeur d'approximation 0,01, l'algorithme suivant fournit un encadrement de x₀ de longueur 0,01.

La requête dichotomie(0.25) renvoie (1.25, 1.5) qui correspond à l'illustration graphique ci-dessus, où deux étapes aboutissent à situer x₀ dans l'intervalle [1,25 ; 1,5].

La requête dichotomie(0.01) renvoie (1.390625, 1.3984375) qui permet d'affirmer que x₀ est compris entre 1,39 et 1,40.