Fiche de révision

Projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan de l'espace

Contenu


Pour un point donné, on peut avoir besoin de connaître la distance de ce point à une droite ou à un plan de l'espace. Pour calculer cette distance, on utilise le projeté orthogonal de ce point sur la droite ou le plan.

I Projeté orthogonal d'un point sur une droite de l'espace

Définition

Pour une droite Δ et un point AΔ, le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ est le point HΔ tel que le vecteur AH est orthogonal à la droite Δ, c'est-à-dire que AH est un vecteur normal à la droite Δ.

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Propriété

Si la droite Δ admet pour vecteur directeur le vecteur u, alors : AHu=0.

Distance d'un point à une droite

Si le projeté orthogonal du point A sur la droite Δ est le point H, alors la distance du point A à la droite Δ est : dA ;Δ=AH.

II Projeté orthogonal d'un point sur un plan de l'espace

Définition

Pour un plan P et un point AP, le projeté orthogonal du point A sur le plan Pest le point HP tel que le vecteur AH est orthogonal au plan P, c'est-à-dire que AH est un vecteur normal au plan P.

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Propriétés

Si le plan P est défini par la donnée d'un point et de deux vecteurs u et v non colinéaires, ou bien du vecteur normal n, alors : AHu=AHv=0 et les vecteurs AH et n sont colinéaires.

Distance d'un point à un plan

Si le projeté orthogonal du point A sur le plan P est le point H, alors la distance du point A au plan P est : d(A ; P) = AH.

Méthode

Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre. L'espace est rapporté au repère orthonormal A;AB,AD,AE.

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1. Soit I le point défini par :

IB+ID+IE=0.

I est appelé centre de gravité du triangle BDE.

a. Démontrer que AI=13AG.

b. Calculer les coordonnées du point I.

2. Prouver que I est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BDE).

Conseils

1. a. Utilisez la relation de Chasles en faisant apparaître le vecteur IA.

b. Déduisez les coordonnées du point I de celles du point G.

2. Montrez que AI est un vecteur normal au plan (BDE).

Solution

1. a. En décomposant les trois vecteurs, on a IA+AB+IA+AD+IA+AE=0, puis 3IA+AB+AD+AE=0, donc 3AI=AB+AD+AE.

Or, AD=BC et AE=CG car les faces du cube sont des carrés, donc 3AI=AB+BC+CG=AG et AI=13AG.

1. b. On a AG=AB+AD+AE, donc les coordonnées du point G dans le repère orthonormal A;AB, AD, AE sont G(1 ; 1 ; 1).

Par ailleurs AI=13AG, donc les coordonnées du point I sont I13;13;13.

2. Puisque le point I appartient au plan (BDE), il suffit de montrer que le vecteur AI est un vecteur normal au plan (BDE).

AI(13 ; 13 ; 13) et BD(−1 ; 1 ; 0) car B(1 ; 0 ; 0) et D(0 ; 1 ; 0), donc :

AIBD=13×(1)+13×1+13×0=0 et AI et BD sont orthogonaux.

AI(13 ; 13 ; 13) et BE(−1 ; 0 ; 1) car E(0 ; 0 ; 1) donc :

AIBE=13×(1)+13×0+13×1=0 et AI et BE sont orthogonaux.

Le vecteur AI est donc un vecteur normal au plan (BDE) puisqu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Le point I est donc le projeté orthogonal du point A sur le plan (BDE).

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