Terminale générale Mathématiques Orthogonalité et distances dans l'espace

Pour un point donné, on peut avoir besoin de connaître la distance de ce point à une droite ou à un plan de l'espace. Pour calculer cette distance, on utilise le projeté orthogonal de ce point sur la droite ou le plan.

I Projeté orthogonal d'un point sur une droite de l'espace

Définition

Pour une droite $Δ$ et un point $A \notin Δ,$ le projeté orthogonal du point A sur la droite $Δ$ est le point $H \in Δ$ tel que le vecteur $\vec{AH}$ est orthogonal à la droite $Δ,$ c'est-à-dire que $\vec{AH}$ est un vecteur normal à la droite $Δ$ .

Propriété

Si la droite $Δ$ admet pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u},$ alors : $\vec{AH} \cdot \vec{u} = 0$ .

Distance d'un point à une droite

Si le projeté orthogonal du point A sur la droite $Δ$ est le point H, alors la distance du point A à la droite $Δ$ est : $d (A; Δ) = AH$ .

II Projeté orthogonal d'un point sur un plan de l'espace

Définition

Pour un plan $P$ et un point $A \notin P,$ le projeté orthogonal du point A sur le plan $P$ est le point $H \in P$ tel que le vecteur $\vec{AH}$ est orthogonal au plan $P$ , c'est-à-dire que $\vec{AH}$ est un vecteur normal au plan $P$ .

Propriétés

Si le plan $P$ est défini par la donnée d'un point et de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires, ou bien du vecteur normal $\vec{n},$ alors : $\vec{AH} \cdot \vec{u} = \vec{AH} \cdot \vec{v} = 0$ et les vecteurs $\vec{AH}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires.

Distance d'un point à un plan

Si le projeté orthogonal du point A sur le plan $P$ est le point H, alors la distance du point A au plan $P$ est : d(A ; $P$ ) = AH.

Méthode

Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan

ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre. L'espace est rapporté au repère orthonormal $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ .

1. Soit I le point défini par :

$\vec{IB} + \vec{ID} + \vec{IE} = \vec{0}$ .

I est appelé centre de gravité du triangle BDE.

a. Démontrer que $\vec{AI} = \frac{1}{3} \vec{AG}$ .

b. Calculer les coordonnées du point I.

2. Prouver que I est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BDE).

Conseils

1. a. Utilisez la relation de Chasles en faisant apparaître le vecteur $\vec{IA}$ .

b. Déduisez les coordonnées du point I de celles du point G.

2. Montrez que $\vec{AI}$ est un vecteur normal au plan (BDE).

Solution

1. a. En décomposant les trois vecteurs, on a $\vec{IA} + \vec{AB} + \vec{IA} + \vec{AD} + \vec{IA} + \vec{AE} = \vec{0},$ puis $3 \vec{IA} + \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE} = \vec{0},$ donc $3 \vec{AI} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}$ .

Or, $\vec{AD} = \vec{BC}$ et $\vec{AE} = \vec{CG}$ car les faces du cube sont des carrés, donc $3 \vec{AI} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{AG}$ et $\vec{AI} = \frac{1}{3} \vec{AG}$ .

1. b. On a $\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}$ , donc les coordonnées du point G dans le repère orthonormal $(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ sont G(1 ; 1 ; 1).

Par ailleurs $\vec{AI} = \frac{1}{3} \vec{AG}$ , donc les coordonnées du point I sont $I (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ .

2. Puisque le point I appartient au plan (BDE), il suffit de montrer que le vecteur $\vec{AI}$ est un vecteur normal au plan (BDE).

$\vec{AI} (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ et $\vec{BD}$ (−1 ; 1 ; 0) car B(1 ; 0 ; 0) et D(0 ; 1 ; 0), donc :

$\vec{AI} \cdot \vec{BD} = \frac{1}{3} \times (- 1) + \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 0 = 0$ et $\vec{AI}$ et $\vec{BD}$ sont orthogonaux.

$\vec{AI} (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})$ et $\vec{BE}$ (−1 ; 0 ; 1) car E(0 ; 0 ; 1) donc :

$\vec{AI} \cdot \vec{BE} = \frac{1}{3} \times (- 1) + \frac{1}{3} \times 0 + \frac{1}{3} \times 1 = 0$ et $\vec{AI}$ et $\vec{BE}$ sont orthogonaux.

Le vecteur $\vec{AI}$ est donc un vecteur normal au plan (BDE) puisqu'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Le point I est donc le projeté orthogonal du point A sur le plan (BDE).

Projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan de l'espace