Historiquement, la fonction ln a été inventée pour simplifier les calculs, car elle permet de convertir les multiplications, longues à effectuer et souvent sources d'erreurs, en de simples additions.

I Propriétés algébriques

Pour tous réels strictement positifs a et b, et pour tout entier n, on a :

 $\ln \left(ab\right)=\ln \left(a\right)+\ln \left(b\right)$

 $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln \left(a\right)-\ln \left(b\right)$

 $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln \left(a\right)$

 $\ln \left(a^n\right)=n\ln \left(a\right)$

Conséquence : Pour tout réel strictement positif a, on a :

$\ln \left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2}\ln \left(a\right)$

II Équations et inéquations

Pour tous réels a et b strictement positifs, on a :

 $\ln \left(a\right)=\ln \left(b\right)\iff a=b$

 $\ln \left(a\right)\ln \left(b\right)\iff ab$

Exemple : $\ln \left(3x\right)=\ln 6\iff 3x=6\iff x=2$.

Conséquence :

Pour tout réel m et tout réel strictement positif x, on a :

 $\ln \left(x\right)=m\iff x={\mathrm{e}}^m$

 $\ln \left(x\right)m\iff x{\mathrm{e}}^m$

Exemple : $\ln \left(1+x\right)=4\iff 1+x={\text{e}}^4\iff x={\text{e}}^4-1$.

En particulier : $\ln \left(a\right)0\iff 0a1$.

Remarque : Si q et a sont des réels strictement positifs et si n est un entier naturel, alors $q^n>a\iff n\ln \left(q\right)>\ln \left(a\right)$.

Méthodes

1 Simplifier ou transformer une expression

On pose $A=\frac{\ln 12-3\ln 2}{2\ln 3-\ln 6}$ et $B={\text{e}}^{-\ln 2}+\ln \left({\mathrm{e}}^{-2}\right)$.

Montrer que A est un entier et que B est un rationnel.

Conseils

Pour simplifier A, utilisez la propriété sur le logarithme d'un produit.

Pour simplifier B, utilisez la définition du logarithme.

Solution

$A=\frac{\ln \left(3\times 2^2\right)-3\ln 2}{2\ln 3-\ln \left(3\times 2\right)}=\frac{\ln 3+2\ln 2-3\ln 2}{2\ln 3-\left(\ln 3+\ln 2\right)}=\frac{\ln 3-\ln 2}{\ln 3-\ln 2}=1.$

Donc A est entier.

$B=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\ln 2}}+\ln \left({\mathrm{e}}^{-2}\right)=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}.$ Donc B est rationnel.

2 Résoudre une inéquation

On considère la suite géométrique de terme général $u_n=\frac{1}{2^n}$.

Déterminer à partir de quel rang n on a $u_n\le {10}^{-5}$.

Conseil

Modifiez la condition $u_n\le {10}^{-5}$ en prenant le logarithme népérien de chaque membre, pour faire passer l'inconnue n d'exposant à coefficient.

Solution

Pour tout $n\in \text{ℕ},$$u_n>0$. On peut donc utiliser la croissance de la fonction ln puisque les deux membres de l'inégalité sont positifs. On obtient :

Donc $u_n\le {10}^{-5}$ à partir du rang $n=17$.

À noter

Attention aux signes dans les résolutions d'inéquations !